Integral gesucht

14.09.2003, 18:28	Mathenull	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral gesucht hi. ich versuche schon seit stunden, das integral von e^(-x^2) zwischen den grenzen -unendlich bis unendlich zu berechnen, aber ich finde einfach keine stammfunktion, obwohl ich wirklich schon viele verschiedene ansätze für produktintegration und subistution probiert habe. könnt ihr matheprofis mir vielleicht weiterhelfen?
14.09.2003, 19:38	Mathefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Mathenull, zuerst solltest du nicht traurig sein, dass du keine Stammfunktion gefunden hast - es gibt nämlich keine geschlossene Stammfunktion. Beweisen kann man das über die Gammafunktion, das ist die Erweiterung der Fakultätfunktion auf die komplexen Zahlen (die reellen fallen dort auch hinwein). Allerdings kann man das Integral zwischen den Grenzen -oo und oo hervorragend integrieren. Ein Lösungsweg wäre der folgende: I = Int[-oo;oo] e^(-x²) dx I² = Int[-oo;oo] e^(-x²) dx * Int[-oo;oo] e^(-y²) dy Hier habe ich einfach das Integral noch einmal hinzumultipliziert. Das darf man, da die Grenzen und die zu integrierende Funktion gleich sind. Aus der Gleichung oben wird folgendes: I² = Int[-oo;oo] e^(-x²) * e^(-y²) dxdy Wenn du den Beweis für das Zusammenziehen des Integrals haben möchtes, dann sage bescheid, ich helfe dir dort gern. I² = Int[-oo;oo] e^(-[x² + y²]) dxdy () Nun substituieren wir, sei dir aber bewusst, dass wir ein Integral mit zwei Veränderlichen haben und damit andere Gesetze gelten! x = r sin(a) (1) und y = r * cos(a) (2) wobei a zwischen 0 und 2pi, was einer Periode entspricht und r zwischen 0 und oo. Wir müssen nun noch dxdy durch drda ersetzen, das geschieht auf folgende Weise: dxdy = D drda, wobei D die Funktionaldeterminate folgender Matrix ist: \|@x/@r @x/@a\| \| \|@y/@r @y/@a\| @x/@r ist die partielle Ableitung der Funktion x nach r, das andere folgt analog. Damit folgt: (1) => @x/@r = sin(a) und @x/@a = rcos(a) (2) => @y/@r = cos(a) und @y/@a = -rsin(a) D = (@x/@r * @y/@a) - @x/@a * @y/@r) D = -r * sin²(a) - rcos²(a) = -r (sin²(a) + cos²(a)) = -r => dxdy = -r * drda ===> () I² = Int[0;oo] r e^(-r²) drda Wir bilden zuerst das Integral über a, was trivial ist, denn die innere Funktion hängt nicht von a ab. Es folgt: I² = 2pi Int[0;oo] r * e^(-r²) dr Die Stammfunktion hierzu ist einfach: I² = 2pi ( -1/2 * e^(-r²))[0;oo] (was nichts weiter bedeutet, dass der Wert von der Funktion in Klammern von 0 nach oo gesucht ist. Grenzwertbetrachtung ergibt mit f(r) = -1/2 * e^(-r²): lim(r->0) f(r) = -1/2 lim(r-> oo) f(r) = 0 => I² = 2 * pi * (0 - [-1/2]) = pi => I = Sqrt(pi) Das ist der genaue Wert dieser ausgesprochen interessanten Funktion. Es gibt noch vielerlei andere Beweismöglichkeiten, bspw. über die Gammafunktion, mal schaun ob ich Zeit finde!
14.09.2003, 20:17	Mathenull	Auf diesen Beitrag antworten »
ui, vielen dank für die schnelle und sehr ausfürliche antwort. man muss dieses eindimensionale integral also auf ein zweidimensionales zurückführen, dass sich dann berechnen lässt, wenn man in polarkoordinaten transformiert. sehr interessanter trick, auf den ich ganz sicher nie gekommen wäre. wie fies von unserem prof, uns so eine aufgabe zu stellen. also vielen dank nochmal
18.09.2003, 12:36	Mathefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht haben sich einige gefragt, wie man auf die Tranformationsformel von karthesichen ins Polarkoordinaten kommt. Allgemein gibt es zwar einen allgemeinen Transformationssatz, den ich oben schon angedeutet hatte. Da ich aber den Beweis selbst nicht kann und wahrscheinlich momentan auch nicht verstehen werde, gibt es natürlich für den dreidimensionalen Raum auch eine spezielle Herleitung. Diese möchte ich hier kurz erwähnen: Sei das Oberflächenintegral Int[a,b] Int[c,d] f(x,y) dydx gegeben, dann ist es oft sehr hilfreich die karthesichen Koordinaten durch Polarkoordinaten zu ersetzen. Besonders, wenn es um uneigentliche Integrale geht, die zwischen -+oo Grenzen berechnet werden sollen. Es folgt also bei der Transformation: x = r * cos(a) y = r * sin(a) Allerdings können wir das Differential dxdy nicht mehr wie gewöhnlich durch kleine rechteckige, gegen Null strebende Flächenstücke berechnen, sondern müssen auf die Eigenschaften eines Kreises zurückgreifen. Wir packen auf die Grundfläche wieder ein rechtwinkliges Koordinatensystem und denken uns um den Koordinatenursprung einen Kreis gezogen, mit dem Radius r. Zusätzlich zeichnen wir vom Koordinatenursprung aus einen beliebigen Winkel /\ phi[j] ein. Diesen Kreissektor, charakterisiert durch r und /\ phi[j] können wir nun in Kreisringe einteilen. Sei A[i+1] die Fläche des Kreisringstückes, charakterisiert durch r[i] und r[i+1] sowie dem Winkel /\ phi[j], dann gilt für das Volumenstück: V[i+1,j] = 1/2 * /\ phi[j] * (r[i+1]^2 - r[i]^2) * f(r[i], phi[j]) = 1/2 * /\ phi[j] * (r[i+1] - r[i])(r[i+1] + r[i]) * f(r[i],/\ phi[j]) Da r[i+1] = r[i] + /\ r[i+1] mit /\ r[i+1] = r[i+1] - r[i] ist, folgt V[i+1,j] = [r[i] * /\ phi[j] * /\ r[i+1] + 1/2 * /\ phi[j] * /\ r[i+1]^2] * f(r[i+1],/\phi[j] Der letzte Summand (rot) ist für /\ r[i+1] und /\ phi[j] gegen 0, für den Gesamtwert des Volumens nicht von Bedeutung. 1) Wir haben im roten Summanden nur gegen Null strebende Werte und den konstanten Teil 1/2 2) /\ r[i+1] fällt quadratisch in das Produkt. Da der Wert linear schon gegen Null strebt, strebt er quadratisch noch schneller gegen Null. Aus diesen Betrachtungen, die man so argumentieren kann, fällt der letzte Summand bei Grenzwertbetrachtung heraus und es gilt für das Gesamtvolumina: V[r, phi] = lim(/\ phi[j] -> 0,/\ r[i+1] ->0) [Sum(j = 1, oo) Sum(i = 1,oo) f(r[i], /\phi[j]) * r[i] * /\ phi[j] * /\ r[i+1]] Nach bekannter Integralschreibweise folgt V(r,phi) = Int[0,phi] Int[0,r] f(r,phi) * r * dr* d(phi) Und genau das wurde oben als "Trick" verwendet!

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