Lineares Gleichungssystem

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Christoph11119999493 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem
Hallo zusammen,
das "Problem" ist die angehängte Aufgabe.
Ich habe mich mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus versucht mit dem Ergebnis, dass zwei Gleichungen mit vier Unbekannten übrig bleiben. Da sich dies auch nicht ändert, wenn ich die Werte für a und b variiere, dachte ich, der Rang der Matrix müsste 2, die Determinante müsste immer 0 sein... Bezüglich der Teilaufgabe a dachte ich, es gibt unendlich viele Lösungen, das LGS müsste also für alle a, b lösbar sein??
Wenn dies so wäre, verstehe ich allerdings b) nicht, da die Lösungsmenge unendlich sein müsste. Was versteht man unter einer Basislösung und wie berechne ich diese?

Schon mal danke für die Hilfe!
Grüße, Christoph
outSchool Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

stelle bitte deine Lösung hier rein, damit dir auch geholfen werden kann.
Ich habe schon das Problem mit deinen 2 Gleichungen. Ich sehe auf Anhieb maximal nur eine Nullzeile.
Christoph11119999493 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das ganze nun nochmal gerechnet, und zwar folgendermaßen:

1 6 2 2 | 100
2 3 1 2 | 65 -2*1. Zeile
3 27 9 8 | 435 -3*1. Zeile
5 a b 4 | 95 -5*1. Zeile

1 6 2 2 | 100
0 -9 -3 -2 | -135 +3. Zeile
0 9 3 2 | 135
0 a-30 b-10 6 | 405 +3*3. Zeile

1 6 2 2 | 100
0 0 0 0 | 0 --> kann man streichen
0 9 3 2 | 135 -3/2*1. Zeile
0 a-3 b-1 0 | 0

1 6 2 2 | 100
0 0 0 -1 | -15 --> d.h. x4 = 15
0 a-3 b-1 0 | 0

Ich habe also 4 Unbekannte bei nur drei Gleichungen. Folglich müsste es unendlich viele Lösungen geben.
Wenn nun a=9 und b=3 wäre, könnte ich das System dann vereinfachen, indem ich die 1. Zeile minus die 3. Zeile nehme, sodass

1 0 0 2 | 100
0 0 0 -1 | -15

Dann wäre bei x4 = 15 lt. 1. Zeile x1 + 2*15 = 100 --> x1 = 70.
Folglich wäre das LGS für a=9 und b=3 lösbar. Stimmt das?

zu b) für a=3 und b=1 würden noch zwei Zeilen mit vier Variablen übrig bleiben. Dann würde x4 = 15 annehmen, die Lösungsmenge für x1, x2 und x3 wäre dann R. Stimmt das? Und wie bestimme ich eine Basislösung?

zu c) für a = 3 und b = 1 müsste der Rang = 2 sein, weil nur noch zwei Gleichungen vorhanden sind. alle anderen a und b müsste der Rang = 3 sein. Stimmt das?

d) die Determinante müsste für alle a und b 0 sein.

Danke schon mal für die Hilfe!
outSchool Auf diesen Beitrag antworten »

Die erweiterte Koeffizientenmatrix A' ist also



Bei a) kannst du dich auch fragen: Gibt es a, b so, dass LGS nicht lösbar ist? Das wäre dann, wenn die dritte Zeile ( 0 0 0 0 | 430 ) wäre.

b) musst du nochmal rechnen, wegen Vorzeichenfehler.
Basislösung, kenne den Begriff nicht. Schau mal ins Skript, ob das die Lösung des homogenenen LGS ist.

c) musst du auch nochmal nachrechnen.

d) stimmt, nach Möglichkeit noch die Begründung, warum die Determinante = 0 ist.
Christoph11119999493 Auf diesen Beitrag antworten »

zu a) wie kommst du hinten auf 430?

zu b) nun hoffentlich ohne Vorzeichenfehler:

1 6 2 2 | 100
0 -9 -3 -2 | -135 +3. Zeile
0 9 3 2 | 135
0 a-30 b-10 -6 | -405 +3*3. Zeile

1 6 2 2 | 100
0 0 0 0 | 0 --> kann man streichen
0 9 3 2 | 135
0 a-3 b-1 0 | 0

1 6 2 2 | 100
0 9 3 2 | 135
0 a-3 b-1 0 | 0

Für a=3 und b=1 verbleiben also zwei Gleichungen mit vier Variablen. Das LGS hat dann unendlich viele Lösungen.
Bezüglich der Basislösung muss ich nochmal nachlesen...

c) Für den Rang ergibt sich hier also meine unten bereits angegebene Lösung.
outSchool Auf diesen Beitrag antworten »

a) Tippfehler, es heisst natürlich ( 0 0 0 0 | 405 ).

b) Wenn du die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform(Treppennormalform), dann kannst du die Lösungsschar ablesen, diese würde ich auf jeden Fall angeben.

c) aus b) hast du ja schon eine Lösung. Gibt es weitere?
Man kann jetzt ein LGS wie folgt aufstellen:

30-a = 9x
10-b = 3x

Das gibt a = 3b, also wie in b) z.B. a=3, b=1.

Aus den Nebenbedingungen

2x = 6
135x = 405

folgt x = 3

Oben eingesetzt in 30-a = 9x folgt, dass a=3, b=1 die einzige Lösung ist.
 
 
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