Minimierung mit Nebenbedingung

06.01.2010, 18:28	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimierung mit Nebenbedingung Insgesamt (damit der Rahmen klar ist) geht es um folgendes Problem: Es sei $\begin{eqnarray} A\in\mathbb{R}^{m\times n} \end{eqnarray}$ mit vollem Rang gegeben, wobei $\begin{eqnarray} m>n \end{eqnarray}$ . Ferner seien $\begin{eqnarray} b\in \mathbb{R}^m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c\in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ gegeben. Also ist $\begin{eqnarray} A^Ty=c \end{eqnarray}$ unterbestimmt. Gesucht ist die Lösung, die am Nähesten an $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ liegt. Dafür soll ich nun zeigen, dass das Minimierungsproblem $\begin{eqnarray} \min_{x\in\mathbb{R}^n} \frac{1}{2} \\| Ax-b\\|_2^2+c^Tx \end{eqnarray}$ eine eindeutige Lösung besitzt. Für beides (Existens u. Eindeutigkeit) finde ich aber irgendwie keinen rechten Ansatz - so allgemeine Beweise in der Numerik fallen mir noch etwas schwer. Für die Existenz der Lösung habe ich mir überlegt, dass die euklidische Norm ja stetig ist, ebenso wie natürlich die lineare Abbildung dort selbst. Damit sollte das gesamte Problem stetig in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ sein. (Wenn ich das Minimum auf ein kompaktes Intervall eingrenzen könnte, dann wäre ich fertig. Das funktioniert aber mEn nicht). Nach Vorlesung ist klar, dass das Minimierungsproblem $\begin{eqnarray} \min_{x\in\mathbb{R}^n} \\|Ax-b\\|_2 \end{eqnarray}$ eine eindeutige Lösung hat. Das reicht aber meiner Ansicht nach mit dem zweiten Teil des Terms $\begin{eqnarray} c^Tx \end{eqnarray}$ nicht für das ganze Problem. Bei de Eindeutigkeit geht es mir entsprechend ähnlich. Die Existenz erscheint mir hier auch einfacher und ich hatte zunächst die Hoffnung über die Existenz dann Ideen für die Eindeutigkeit zu bekommen... Hätte jemand vielleicht einen Tipp, wo ich ansetzen sollte? Gruß MI
09.01.2010, 23:20	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimierung mit Nebenbedingung Kurze Rückfrage, gesucht ist doch x. Wie kommt das y dann ins Spiel? oder ist das ein Vertipper?
28.01.2010, 23:23	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimierung mit Nebenbedingung Entschuldigung, dass ich nicht mehr geantwortet habe. Ich hatte übersehen, dass es eine Rückmeldung gab . Nein, das war kein Vertipper. Man soll tatsächlich so ansetzen. Das y wird dann später irgendwann mit dem x in Verbindung gebracht. Die Lösung des Problems war, dass ich mal wieder übersehen habe, dass die 2-Norm ja über das Skalarprodukt umgeschrieben werden kann... Gruß MI

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