Aufgaben zu Untervektorräumen und Dimension

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kolto Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgaben zu Untervektorräumen und Dimension
Hi, ich seh ich hab generell ein Problem mit sowas, weil hier sind zwei Aufgäbchen und ich hab von beiden eigentlich nicht wirklich ne idee wie ich anfangen soll.

1)V is ein freundlicher Vektorraum mit Dimension . U ist ein Untervektorraum von V, mit der Eigenschaft für alle zweidimensionalen UVRs W von V.
zu zeigen: U hat Dimension n-1


2)V wieder n-dimensionaler VR, ein UVR.
Beh: es gibt endlich viel n-1 dimensionale Teilräume W1,...,Wn von V mit

Zur ersten hab ich praktisch keine Idee, bei der zweiten son bisschen was lasches,

dim(U)<n, gelte dim(U)=n-1, dann nehmen wir einfach W1=U und fertig.
wenn dimU<n-1 ist, kann ich dann sagen: Es gibt W2, mit U enthalten in W2? aber dann weis ich immernoch nicht dass es noch andere Wi gibt dere Schnittmenge mit W2 dann genau U ist unglücklich
kolto Auf diesen Beitrag antworten »

sind die aufgaben so kompliziert? sowas fehlt mir in meinem puzzle noch, deswegen ises wichtig, dass ich weis wie das geht
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgaben zu Untervektorräumen und Dimension
Zu 1): Es ist , dann ist also . Nimm an, dass ist und suche ein mindestens 2-dimensionales , mit

Zu 2): Meine Idee wäre hier, sich eine Basis von zu nehmen und diese per Basisergänzungssatz zu einer Basis von zu ergänzen.
Mit dieser Basis lassen sich jetzt schöne (n-1)-dimensionale Unterräume konstruieren.

Gruß,
Reksilat.
kolto Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal danke für die antwort, aber wie soll ich denn ein W bzw mir ne Basis aussuchen, wenn ich garnichts weis über V, außer dass er n-dimensional ist?

die aufgaben haben glaub ich bei mir echt ne lücke getroffen.

und nochwas: du schreibst ich soll ein MINDESTENS zweidimensionales W finden. gefragt war ja nur nach genau zweidimenasionalen. das würde ja heissen, wenn ich einen 3-dimensionalen finde, der keinen schnitt (außer 0) mit U hat, dass das dann automatisch auch für einen 2-dimensionalen gilt?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du von V weißt, dass es die Dimension n hat, weißt Du eigentlich so gut wie alles über V. Du weißt zum Beispiel, dass es eine Basis mit n Elementen GIBT. Wie auch bei 2) kann man so eine bei 1) schön konstruieren.

Und das mit dem "mindestens" habe ich geschrieben, da ich auf das Komplement zu U hinauswollte. Sagt Dir das was?
kolto Auf diesen Beitrag antworten »

nein, kann es sein, dass das was mit euklidischen vektorräumen zu tun hat? die haben wir gestrichen. darüber weis ich also nichts.hat das was mit komplementärraum zu tun? das kenn ich nämlich auch nicht Augenzwinkern
 
 
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

V ist ein beliebiger Vektorraum und diese Aufgabe lässt sich ganz elementar lösen.
Schauen wir uns nochmal 1) an:

Angenommen U hat Dimension m, mit m<n-1.
Dann gibt es eine Basis für U:
Per Basisergänzungssatz kann man die zu einer Basis von V ergänzen:
Die Menge hat mindestens zwei Elemente, da ja m+1<n ist.

Soweit klar?

Wo finden wir nun eine Basis für ein mit ?

Gruß,
Reksilat.
kolto Auf diesen Beitrag antworten »

das hört sich schonmal gut an, die sache, dass man mindestens 2 elemente ergänzen muss.

also wenn W 2-dimensional ist brauchen wir 2 basisvektoren und die müssne wir aus nehmen, weil sonst der schnitt nicht nur die 0 wäre?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre eine Möglichkeit. Ja!
kolto Auf diesen Beitrag antworten »

aber ist es sicher, dass der schnitt dann auch nur die null ist?

ich glaub ich weis worauf du hinaus willst.

das heist nur wenn dim=n-1 ist bleibt nur 1 vektor zum ergänzen übrig, das heist diese zweidimensionalen vektorräume müssten ihrer basis nen vektor aus der basis von U haben und damit ist der schnitt nicht leer?

ok, aber ich versteh nicht ganz wieso das so geht.
also wieso, das dann beweist, dass der schnitt niemals nur die 0 ist, denn es gibt ja unendlich viele vektoren die man für ne basis von W holen könnte, also auch welche, die nicht in oder sind
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Klar gibt es da viele Möglichkeiten, aber wir wollen ja einen Widerspruchsbeweis führen. Deshalb reicht es, einen Unterraum W anzugeben, der die Voraussetzung nicht erfüllt.
kolto Auf diesen Beitrag antworten »

also ich will sagen: auch wenn die dimension von U= n-1 ist, wer sagt dann, dass ich nicht trotzdem zwei vektoren für ne basis von W nehme, die beide nicht in der Basis von U sind?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dim(U)=n-1 ist, dann ist die Behauptung bereits erfüllt und Du bist fertig. Augenzwinkern

PS: Es gibt eine Editierfunktion.
kolto Auf diesen Beitrag antworten »

ok stimmt, danke dir erstmal.
das hat mir sehr geholfen, dass war nämlich ein allgemeiner ansatz (über diese basisergänzung zu gehen) den ich mir so noch nie überlegt hatte, wenn ich da jetzt morgen noch ne halbe stunde drüber nachgrüble wird sich mein wissen über lineare algebra bestimmt um 1-2% erweitern unabhängig von der aufgabe Augenzwinkern

die andre aufgabe (nr.2) werd ich dann mit deinem tipp und den neuen infos morgen erstmal wieder allein versuchen
kolto Auf diesen Beitrag antworten »

so die erste versteh ich glaub ich, bei der zweiten haperts noch an grundsatzfragen.

wenn ich eine basis v1,...,vn von V habe, spannt dann eine k-elementige teilmenge dieser basis immer einen k-elementigen untervektorraum auf?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Die Vektoren v1,..,vn sind linear unabhängig und deshalb ist auch jede k-elementige Teilmenge linear unabhängig. Und k linear unabhängige Vektoren spannen einen Unterraum der DImension k auf.
kolto Auf diesen Beitrag antworten »

und ist die lineare hülle des schnittes der basen ne teilmenge der schnittes der vektorräume?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
kolto Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich dann die zweite aufgabe so lösen?:

Sei eine Basis von U,
dann gibt es , sodass eine Basis von V ist, dann gibt es endliche viele n-1 elementige Teilmengen , sodass

dann ist?? oder hab ich mich da im letzten schnritt wieder zuweit aus dem fenster gelehnt?^^
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt schon hin, allerdings kannst Du diese mit Deiner Basis konkret angeben.
kolto Auf diesen Beitrag antworten »

also sagen wir

für alle i von 1 bis n-k Big Laugh

noch zu dem was ich da oben geschrieben hab: ich habe glaub ich benutzt: ich glaub das gilt, wenn linear unabhändig ist?

danke auf jedenfall das hat mein wissen wirklich erweitert Freude
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kolto
ich habe glaub ich benutzt: ich glaub das gilt, wenn linear unabhändig ist?

Stimmt so.

Allgemein gilt das natürlich nicht, denn es ist zum Beispiel:
, aber
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