Projektionen

07.01.2010, 00:35

Kirsche

Projektionen

Hallo,

kurze Aufgabe, aber ich komme nicht weiter.

Man finde alle Projektionen $\begin{eqnarray*} Z_3^2 \rightarrow \mathbb{Z}_3^2 \end{eqnarray*}$ .

Ich frage mich, ob vlt. ein Fehler in der Aufgabe ist und mit dem ersten Z auch die Ganzen Zahlen gemeint sind, aber bisher wurde nichts korrigiert. Deshalb muss ich wohl hiervon ausgehen.
Ich lese mir bestimmt schon seit Stunden Dinge über Projektionen durch, bin jeden Eintrag im Forum, in dem Projektion vorkam, durchgegangen, aber weiß nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Entweder ich stehe auf dem Schlauch oder was auch immer.

Für jegliche Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Vielen Dank,

Kirsche

07.01.2010, 17:58

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Projektionen
Wenn nichts anderes angegeben ist, wird $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ wohl die ganzen Zahlen bezeichnen. Andernfalls hätte ich auch keine Ahnung, wie man die Aufgabe lösen soll. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

07.01.2010, 21:11

Kirsche

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es sind die Ganzen Zahlen gemeint. Wurde heute mitgeteilt.

Es gibt wohl 15 Projektionen.

Soll ich nun Projektionen finden zwischen zwei Matrizen?

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{Z}_3^2 \rightarrow \mathbb{Z}_3^2 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und wegen Projektion soll gelten

$\begin{eqnarray*} f o f = f \Rightarrow f\left(f\left(x\right) \right) \end{eqnarray*}$

So, nun weiß ich leider immer noch nicht weiter.

Für Hilfe wäre ich wie immer sehr dankbar.

07.01.2010, 23:42

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso zwischen Matrizen? $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3^2 \end{eqnarray*}$ besteht aus Vektoren. geschockt

Du kannst einer solchen linearen Abbildung ja eine Matrix zuordnen. Diese Matrix hat vier Einträge, alle aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ . Macht insgesamt 243 mögliche lineare Abbildungen.
Die kann man alle hinschreiben und überprüfen, oder man schaut einfach mal, ob man nicht mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} f\circ f=f \end{eqnarray*}$ auch etwas mehr über die Matrixeinträge herausbekommen kann. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

08.01.2010, 09:09

Manus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Reksilat
Macht insgesamt 243 mögliche lineare Abbildungen.

Sollten das nicht eher 81 sein? verwirrt

08.01.2010, 10:41

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 3^4=81 \end{eqnarray*}$
Herzlichen Glückwunsch! Du hast meinen sauber versteckten Fehler gefunden. Ups

08.01.2010, 12:33

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher, daß es 15 Projektionen gibt? Ich komme nur auf 14 Möglichkeiten.

Sei also $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{Z}_3 = \{ -1 , 0 , 1 \} \end{eqnarray*}$ .
Restringiert auf ihren Bildraum $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ ist eine Projektion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Identität. Ich unterscheide nun die Bildräume von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach ihrer Dimension. Die trivialen Fälle vorweg: Ist $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ nulldimensional, dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Nullabbildung auf $\begin{eqnarray*} K^2 \end{eqnarray*}$ ; ist $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ zweidimensional, dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Identität auf $\begin{eqnarray*} K^2 \end{eqnarray*}$ .

Von jetzt ab sei $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ eindimensional. Als Erzeugende $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ kommen $\begin{eqnarray*} 3^2-1 = 8 \end{eqnarray*}$ Vektoren in Frage (alle Vektoren außer dem Nullvektor). Da aber $\begin{eqnarray*} \pm e_1 \end{eqnarray*}$ denselben Raum $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ erzeugen, gibt es genau 4 Möglichkeiten für $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ . Der erzeugende Vektor $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ wird durch einen zweiten Vektor $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ zu einer Basis $\begin{eqnarray*} e_1,e_2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} K^2 \end{eqnarray*}$ ergänzt. Durch Vorgabe auf einer Basis liegt aber eine lineare Abbildung eindeutig fest. Wir wissen bereits:

$\begin{eqnarray*} \text{(1)} \ \ f(e_1) = e_1 \, ; \ \ \ \ \text{(2)} \ \ f(e_2) \in U_1 \end{eqnarray*}$

In $\begin{eqnarray*} f(e_2) = \lambda e_1 \end{eqnarray*}$ gibt es aber nun drei Möglichkeiten $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ . Und es ist

$\begin{eqnarray*} 4 \cdot 3 + 2 = 14 \end{eqnarray*}$

Entweder stimmt dein Hinweis mit den 15 Möglichkeiten nicht oder ich habe irgendwo einen Denkfehler in meiner Überlegung. Dann sag mir aber wo.

08.01.2010, 13:09

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehe keinen Denkfehler. Habe auch mit der von mir oben vorgeschlagenen Methode nur 14 mögliche Abbildungen bekommen.
Per Mehrheitsbeschluss ist die korrekte Lösung also 14. smile

Gruß,
Reksilat.

08.01.2010, 13:32

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Reksilat
Per Mehrheitsbeschluss ist die korrekte Lösung also 14. smile

Was heißt denn hier "Mehrheits"beschluß! Einstimmig. Das ist ja wie zu den seligen Zeiten des real existierenden Sozialismus.

08.01.2010, 15:30

Kirsche

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für die Mühe.

Nachdem ich mich mal umgehört habe, sind wohl mehrere auf die Lösung 14 gekommen.
ZWar erschließt sich mir der Weg noch nicht ganz, aber ich werde mich noch länger damit auseinandersetzen. Ist trotzdem schonmal eine große Hilfe.

Lieben Gruß und nochmal danke,

Kirsche

Neue Frage »

Antworten »

Projektionen

Verwandte Themen