Gauss mit Nullzeilen

07.01.2010, 10:39

AnnaTanna

Auf diesen Beitrag antworten »

Gauss mit Nullzeilen

Hallo,

ich sollte folgendes lösen: Mx=b, wobei

$\begin{eqnarray*} M= \begin{pmatrix} 4 & 4 & 2 & 6 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 2 & 5 & -8 & 6 \\ 4 & 0 & 14 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe nun den Gauss-Algorithmus durchgeführt (Anmekrung: Da ich nicht wusste, wie man diesen senkrechten Trennstrich macht, denkte euch bitte einfach dass in der letzten Spalte b steht !!!):

Als erstes habe ich Zeile 1 und Zeile 2 vertauscht:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 & 2 & 2 \\ 4 & 4 & 2 & 6 & 2 \\ 2 & 5 & -8 & 6 & -2 \\ 4 & 0 & 14 & 2 & 6 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die erste Zeile stehengelassen und halt versucht in der ersten Spalte eine Null zu bekommen (II-2I, III-I, IV-2I)
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & -6 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & -12 & 4 & -4 \\ 0 & -2 & 6 & -2 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun wollte ich natürlich noch in der zweiten Spalte nullen erstellen. Habe also I und II festgehalten, sowie III-2II und IV+II und erhielt:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & -6 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun bin ich etwas verwirrt. Ich weiß, dass wenn man eine Nullzeile erhält, man sich quasi den Wert für die Variable aussuchen kann..., aber bei zwei Nullzeilen?!...
Hab ich irgendwas falsch gemacht?

07.01.2010, 12:41

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann kannst du dir, *trommel wirbel*, eben den Wert von 2 Variablen raussuchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.01.2010, 12:50

AnnaTanna

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo kiste,

ist denn meine obige Rechnung richtig?!

Und nun kann ich einfach sagen, x4=10, wenn ich denn will oder?!

Grüße, Anna

07.01.2010, 13:04

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von AnnaTanna
ist denn meine obige Rechnung richtig?!

Ja.

Zitat:

Original von AnnaTanna
Und nun kann ich einfach sagen, x4=10, wenn ich denn will oder?!

Im Prinzip ja. Mit der Bestimmung der frei wählbaren Variablen tut man sich etwas leichter, wenn man zunächst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmt.
Dafür gilt:

Befindet sich die Matrix eines LGS in Zeilenstufenform, dann gilt:

Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen.
Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums des homogenen GLS setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null.
Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig.

07.01.2010, 14:10

AnnaTanna

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo klarsoweit,

also sind meine beiden Variablen x1 und x2 dann 2 und 4?

07.01.2010, 14:12

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt etwas unvollständig. Was sollen dann x3 und x4 sein?

Anzeige

07.01.2010, 14:31

AnnaTanna

Auf diesen Beitrag antworten »

Na ich dachte die würden sich dann aus Rückrechnung oder so ergeben, weil sie ja eigentlich frei wählbar sind...?

07.01.2010, 14:42

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

Welche Variablen sind jetzt frei wählbar und welche nicht?

07.01.2010, 14:44

AnnaTanna

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich dachte immer, da man es von hinten aufräumt, das quasi x3 und x4 frei wählbar wären!

07.01.2010, 14:49

AnnaTanna

Auf diesen Beitrag antworten »

Also hätte ich zwei Lösungen (+ deren Vielfaches (oder?)):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.01.2010, 15:05

AnnaTanna

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja, ist es nicht außerdem ein "inhomogenes" Gleichungssystem? Denn b ist ja nicht der nullvektor!

07.01.2010, 15:14

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von AnnaTanna
Also ich dachte immer, da man es von hinten aufräumt, das quasi x3 und x4 frei wählbar wären!

Das ist in diesem Fall zufällig so. Richtig ist aber die Methode, wie ich sie genannt hatte.

Zitat:

Original von AnnaTanna
Ach ja, ist es nicht außerdem ein "inhomogenes" Gleichungssystem? Denn b ist ja nicht der nullvektor!

Im Moment geht es um die Lösung des homogenen Systems. Das hatte ich auch in meinem Beitrag erwähnt. Deine Lösungen sind Lösungen des inhomogenen Systems, wobei Vielfache davon wiederum keine Lösungen sind.

07.01.2010, 15:24

AnnaTanna

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort.
Was ist denn aber nun an meinen beiden gefundenen Vektoren falsch? Ich habe sie doch quasi so gestzt, wie ich sollte...

07.01.2010, 15:34

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine beiden Lösungen sind Lösungen des inhomogenen Systems. Soweit, so gut. Aber du schreibst:

Zitat:

Original von AnnaTanna
(+ deren Vielfaches (oder?)):

Und das ist leider falsch, wie du auch leicht nachrechnest, wenn du mal von den Vektoren das doppelte nimmst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.01.2010, 15:36

AnnaTanna

Auf diesen Beitrag antworten »

Also hat das Gleichungssystem nur ZWEI Lösungen?

07.01.2010, 15:47

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. An dieser Stelle solltest du dir mal Gedanken machen, wie man grundsätzlich ein inhomogenes GLS löst.

Schritt 1: bestimme eine Lösung des inhomogenen Systems. (Du hast sogar 2 Lösungen.)

Schritt 2: bestimme die allgemeine Lösung des homogenen Systems. Das mußt du noch machen.

Die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung des homogenen Systems und einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems.

07.01.2010, 15:48

AnnaTanna

Auf diesen Beitrag antworten »

Also,

ich stelle fest:
1. Meine Lösungen sind richtig.
2. Meine Lösungen sind die für ein inhomogenes Gleichungssystem.
3. Es gibt scheinbar genau/min. zwei Lösungen.
4. Ich weiß nicht, wie ich die Lösung eines homogenes Gleichungssystems in diesem Fall ermitteln soll.

07.01.2010, 15:56

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von AnnaTanna
2. Meine Lösungen sind die für ein inhomogenes Gleichungssystem.

Ja.

Zitat:

Original von AnnaTanna
3. Es gibt scheinbar genau/min. zwei Lösungen.

Es gibt sogar unendlich viele Lösungen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von AnnaTanna
4. Ich weiß nicht, wie ich die Lösung eines homogenes Gleichungssystems in diesem Fall ermitteln soll.

Setze auf der rechten Seite einfach den Nullvektor und löse das ganze nochmal. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Umformungen mußt du nicht nochmal machen, sondern einfach nur in die 5. Spalte lauter Nullen schreiben.

07.01.2010, 16:01

AnnaTanna

Auf diesen Beitrag antworten »

Lösungen
Okay, dann erhalte ich noch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -0,5 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3,5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das sind dann vier Lösungen. Warum gibt es dann aber angeblich unendlich viele?

Und warum muss ich überhaupt dieses "homogene" Gleichungssystem acuh lösen?

08.01.2010, 16:45

AnnaTanna

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, wie geht es weiter?

09.01.2010, 09:07

AnnaTanna

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

09.01.2010, 13:29

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lösungen

Zitat:

Original von AnnaTanna
Und warum muss ich überhaupt dieses "homogene" Gleichungssystem acuh lösen?

Das hatte ich schon gesagt:

Zitat:

Original von klarsoweit
Die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung des homogenen Systems und einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems.

Am besten schaust du dir das Thema nochmal in deinen Vorlesungsunterlagen an.

09.01.2010, 17:07

1+1

Auf diesen Beitrag antworten »

Mal das, was schon gesagt wurde, fix aus meinen Unterlagen abgetippt:

Es sei Ax = b ein inhomogenes LGS über K und Ax=0 das zugehörige homogene LGS
Ist $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ eine spezielle Lösung von Ax=b und $\begin{eqnarray*} x^{*} \end{eqnarray*}$ eine Lösung von Ax=0, dann ist auch $\begin{eqnarray*} x_{1}+x^{*} \end{eqnarray*}$ eine Lösung von Ax=b
Sind $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ Lösungen von Ax=b, dann ist $\begin{eqnarray*} x_{2}-x_{1} \end{eqnarray*}$ eine Lösung $\begin{eqnarray*} x^{*} \end{eqnarray*}$ des homogenen LGS Ax=0; es gilt $\begin{eqnarray*} x_{2}=x_{1}+x^{*} \end{eqnarray*}$
Ist $\begin{eqnarray*} L^{*} \end{eqnarray*}$ die Lösungsmenge von Ax=0 und $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ eine spezielle Lösung von Ax=b, dann ist $\begin{eqnarray*} x_{1}+L^{*} = \{x_{1}+x^{*} : x^{*} \in L^{*}\} \end{eqnarray*}$ die Lösungsmenge von Ax=b

Vielleicht wird dir nun klar, was Klarsoweit meint =)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »