Ker(f)=Bld(f) und UVR

07.01.2010, 14:26

Margarita90

Ker(f)=Bld(f) und UVR

Hallo,
ich soll eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2 -> \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Kerf=Bldf \end{eqnarray*}$ angeben.
Gehe ich erstmal recht in der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} def(f)=rg(f)=1 \end{eqnarray*}$ , weil sich die 2 der Dimension von der Ausgangsmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gleich auf die Dimensionen von Kern und Bild verteilen?!
Und noch etwas allgemeines: Wenn ich eine Abbildung f nach der Vorschrift $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(ax+by,0) \end{eqnarray*}$ aufstelle, dann ist sie doch eindimensional, oder?
Ich komm irgendwie nicht voran... hat jemand einen Tipp?!

Und eine zweite Frage: Ich habe zwei UVR $\begin{eqnarray*} U_{1}, U_{2} \end{eqnarray*}$ eines $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraumes $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Was versteht man dann unter $\begin{eqnarray*} U_{1}+U_{2} \end{eqnarray*}$ ?

lg

07.01.2010, 14:33

Cel

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RE: Ker(f)=Bld(f)

Zitat:

Original von Margarita90
Gehe ich erstmal recht in der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} def(f)=rg(f)=1 \end{eqnarray*}$ , weil sich die 2 der Dimension von der Ausgangsmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gleich auf die Dimensionen von Kern und Bild verteilen?!

Sozusagen, ja.

Zitat:

Original von Margarita90
Und noch etwas allgemeines: Wenn ich eine Abbildung f nach der Vorschrift $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(ax+by,0) \end{eqnarray*}$ aufstelle, dann ist sie doch eindimensional, oder?

Nein? Das Bild ist eine Teilmenge des R^2 ... Oder redest du vom Bild oder Kern?

Allgemein hast du mit deinerm ersten Kommentar doch schon eine Lösung. Wie kann man denn lineare Abbildungen darstellen? Mit Matrizen ... Augenzwinkern

Denke doch mal an eine ganz einfache.

07.01.2010, 14:40

kolto

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U1+U2 ist wieder ein Untervektorraum.

U1+U2=(v+w|v aus U1 und w aus U2) (mit mengenklammern)

07.01.2010, 14:42

Margarita90

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RE: Ker(f)=Bld(f)

Zitat:

Nein? Das Bild ist eine Teilmenge des R^2 ... Oder redest du vom Bild oder Kern?

Also ich meinte schon das Bild... weil doch der zweite (der y-)-Wert immer 0 ist. Bei einer Matrix kann ich die Nullzeilen doch auch weglassen und sie haben keinen Einfluss auf die Dimension... oder verwechsle ich da etwas?

07.01.2010, 14:54

kolto

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das bild is eindimensional, denn du kannst mit (1,0) eine einelemtige basis angeben

07.01.2010, 14:55

Cel

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Mit der Dimension hat das nichts zu tun. Du sprichst vom Rang.

Du hast die Lösung doch fast selber. Kannst du eine (einfache) Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ angeben, so dass für $\begin{eqnarray*} x \mapsto A \cdot x \end{eqnarray*}$ das gewünschte gilt?

Übrigens: Soll ker(f) = bild(f) oder dim(ker(f)) = dim(bild(f)) gelten? Ich erzähle dir nämlich die ganze Zeit etwas über die zweite Variante, merke ich gerade ...

07.01.2010, 14:55

Margarita90

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wie es mein thema schon sagt ( Augenzwinkern

) gehts mir um kerf=bldf...

07.01.2010, 15:02

Cel

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Hast du denn jetzt eine solche Abbildung gefunden?

07.01.2010, 15:16

Margarita90

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Zitat:

Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ angeben, so dass für $\begin{eqnarray*} x \mapsto A \cdot x \end{eqnarray*}$ das gewünschte gilt?

Zitat:

Original von Mr. Brightside
Hast du denn jetzt eine solche Abbildung gefunden?

Nein...wie kommst du auf diese Vorschrift? wieso ist da jetzt nur ein x drin, brauche ich für 2-Dimensionalität nicht auch noch ein y? Wenn du bei der Matrix "einfach" betonst, denke ich an die Einheitsmatrix... also f(x,y)=(x,y) oder wie soll ich das interpretieren? Dafür gilt aber nicht kerf=bldf...=(

07.01.2010, 16:02

Cel

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Es gilt hier $\begin{eqnarray*} x = (x_1, x_2)^T \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , kannst auch $\begin{eqnarray*} (x, y)^T \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ schreiben. Das ist das gleiche. Die Schreibweise mit dem A sollte dir etwas sagen, eine lineare Abbildung kann man auch immer so schreiben. Ich hatte zunächst an $\begin{eqnarray*} x \mapsto \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot x \end{eqnarray*}$ gedacht, aber hier gilt eben nur dim(ker(f)) = dim(bild(f)) ...

07.01.2010, 16:07

Margarita90

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wäre $\begin{eqnarray*} x \mapsto \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot x \end{eqnarray*}$ gleichbedeutend mit f(x,y)=(x,0)?

07.01.2010, 16:24

Cel

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Ja, das ist das gleiche.

07.01.2010, 17:11

Margarita90

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och mann

ich komm immernoch nicht voran...
wie wäre es mit einer Funktion, die als Bild nur die leere Menge hat? Dann gibt es auch keine Argumente mit dem Funktionswert 0... also wäre der Kern auch leer... Aber für so etwas findet man sicher keine lineare Funktion... traurig

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