Zahlenfolgen...

07.01.2010, 18:40

bandchef

Zahlenfolgen...

Edit (mY+): KEINE Hilfeersuchen, schon gar nicht im Titel! Entfernt!

Hi Leute!

Ich hab folgende Aufgabe zu beantworten:

Entscheiden Sie, welche der folgenden Reihen konvergieren oder divergieren und begründen Sie Ihre Antwort jeweils:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 0,9^nn^2 \end{eqnarray*}$

Was soll diese Aufgabe? Ihr solltet vielleicht auch noch wissen, dass ich eigentlich schon mit diesem Summenzeichen nicht viel Anfangen kann...

danke, bandchef

07.01.2010, 18:49

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bandchef
Ihr solltet vielleicht auch noch wissen, dass ich eigentlich schon mit diesem Summenzeichen nicht viel Anfangen kann...

Eine äußerst seltsame Bemerkung angesichts der Tatsache, dass ihr euch da ja gerade mit Reihen befasst. unglücklich

Zum Thema: Quotientenkriterium hilft.

07.01.2010, 18:49

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann weißt du also auch nicht, was eine Reihe ist verwirrt

Woher kommt die Aufgabe dann und warum willst du eine Aufgabe lösen, deren Symbole du noch nichteinmal kennst?

Edit:
Too slow.

air

07.01.2010, 19:06

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs vielleicht gerade etwas zu reißerisch formuliert. Ich wollte damit eigentlich nur sagen, was ich mit der Aufgabe machen muss damit Begründen kann ob sie nun letztendlich an einen Grenzwert konvergiert oder doch divergent ist...

Ich werde jetzt mal eine Lösung versuchen und sie dann hier reinstellen; vielleicht könnt ihr ja dann mal schauen ob meine Lösung stimmt...

danke, bandchef

07.01.2010, 19:14

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

So, jetzt bin's ich nochmal.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 0,9^nn^2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt meine Aufgabe wie folgt abändere und sie so aufschreibe, $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^4 0,9^nn^2 \end{eqnarray*}$ , dann könnte ich doch auch einzelne Rechenschritte aufschreiben nämlich so:

$\begin{eqnarray*} 0,9^1*1^1; 0,9^2*2^2; 0,9^3*3^2; 0,9^4*4^2 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Ich weiß, das sagt mir jetzt natürlich nicht wie die Aufgabe konvergiert oder nicht, aber es hilft mir das Summenzeichen besser zu verstehen...

danke, bandchef

07.01.2010, 19:21

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt bei der Aufgabe mal versucht rauszubekommen ob sie nun gegen einen Endwert konvergiert. Ich sage, sie konvergiert nicht. Meine Begründung: Ich kann aus der oben gestellten Aufgabe die höchste Potenz nicht ausklammern und dan dann limes ausführen...

Könnt ihr mir sagen ob das soweit richtig ist?

danke, bandchef

07.01.2010, 19:24

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich behaupte einfach mal sie konvergiert.

Bei Reihen solltest du die Konvergenz anders nachweisen, Arthur hat das Quotientenkriterium angesprochen, das hier auch zum Ziel führen wird.

07.01.2010, 19:29

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde in meiner Formelsammlung (Bronstein) nix unter dem Begriff Quotientenkriterium. Hat das noch einen anderen Namen?

danke, bandchef

07.01.2010, 19:30

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wüsste nicht dass das noch anders heißt, alternativ könnte es auch noch über das Wurzelkriterium funktionieren. Wie habt ihr denn bisher Konvergenz von Reihen nachgewiesen?

07.01.2010, 19:31

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich immer mit höchster Potenz ausklammern...

Jetzt hab ich das Quotientenkriterium doch gefunden... Mal gucken vielleicht verstehe ich es gleich auf Anhieb...

danke, bandchef

07.01.2010, 19:35

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm... Irgendwie verstehe ich das nicht. Hier steht, dass für p<1 die Reihe konvergiert und für p>1 die Reihe divergiert. Bei p=1 kann keine Aussagen darüber getroffen werden. Es steht aber (wahrscheinlich für mich nicht verständlich) wie's gemacht wird...

Könnt ihr mir weiterhelfen?

danke, bandchef

07.01.2010, 19:42

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte nicht missverstehen, aber es schon ziemlich ärgerlich, wie du hier auftrittst:

Das Forum ist kein Ersatz für anscheinend wochenlang versäumten Schulunterricht, du solltest dich also etwas bemühen, vieles von dem Versäumten erstmal selbst nachzuholen - als da wären den Grundbegriff einer Reihe, Konvergenz/Divergenz sowie die wichtigsten Kriterien dazu wie die angesprochenen Quotienten- und Wurzelkriterium.

07.01.2010, 19:46

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier findest du die Formel für das Quotientenkriterium.

Du machst folgendes, du bildest $\begin{eqnarray*} a_n, a_{n+1} \end{eqnarray*}$ und dividierst dann wie in der Formel angegeben. Dann kannst du etwas umformen und am Ende $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \end{eqnarray*}$ darauf werfen. Wenn nach Anwedung des Limes eine Zahl q mit |q|<1 rauskommt, konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium, erhälst du |q|>1 divergiert die Reihe, und ist |q|=1, so lässt sich mit dem Quotientenkriterium kein eindeutiger Schluss ziehen und es muss ein anderes Verfahren genutzt werden.

07.01.2010, 19:49

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben kein Wurzel- bzw. Quotientenkriterium besprochen...

Ich hab bisher keinen einzigen Tag an der FH versäumt dazu mal nur so viel... Jetzt bitte nicht missverstehen, aber ich finde es schon etwas ärgerlich wie mir hier gegenüber getreten wird mir solche Dinge zu unterstellen, bloß weil man genau nachfragt weil man keinen genauen Plan von einer Aufgabe hat.

danke, an Iorek und Kühlkiste wegen der weiteren Hilfe!

danke, bandchef

07.01.2010, 19:49

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bandchef
Ich finde in meiner Formelsammlung (Bronstein) nix unter dem Begriff Quotientenkriterium. Hat das noch einen anderen Namen?

danke, bandchef

Das Quotientenkriterium wird gelegentlich auch d'Alembert-Kriterium genannt.
Guck einfach mal bei Wiki rein.
Der Nachweis der Konvergenz Deiner Reihe ist damit ein Einzeiler.

Übrigens lässt sich der Wert dieser Reihe auch exakt berechnen (2 maliges Differenzieren der geom. Reihe oder Cauchyprodukt).

Allgemein gilt für $\begin{eqnarray*} |x|<1: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty n^2x^n=\frac{x^2+x}{(x-1)^3} \end{eqnarray*}$

07.01.2010, 19:54

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Oha, ein Vorzeichenfehler hat sich oben eingeschlichen. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty n^2x^n=\frac{x^2+x}{(1-x)^3} \end{eqnarray*}$

07.01.2010, 19:55

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

@Iorek:

wenn ich nun $\begin{eqnarray*} a_n, a_{n+1} \end{eqnarray*}$ bilden soll und in die Formel einsetze was unter wiki steht, kommt bei mir das raus: $\begin{eqnarray*} \frac{0,9^2*2^2}{0,9^1*1^2} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

danke, bandchef

07.01.2010, 19:56

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du darauf? Da sollte eigentlich was mit n übrig bleiben... verwirrt

07.01.2010, 19:57

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hab ich auch gedacht.

mit a_n ist doch eigentlich 0,9^n*n^2 gemeint, oder?

07.01.2010, 20:00

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt es so?

$\begin{eqnarray*} \frac{0,9^{n+1}*(n+1)^2}{0,9^n*n^2} \end{eqnarray*}$

danke, bandchef

07.01.2010, 20:01

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau Freude

Das ganze kann man jetzt noch etwas umformen, damit das Limes-freundlicher wird.

07.01.2010, 20:15

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergiert jetzt das Ergebnis gegen 0?

Ich hab das jetzt für'n Limes so umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{0,9^{n+1}+\frac{2*0,9^{n+1}}{n}+\frac{0,9^{n+1}}{n^2}}{0,9^n}\Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

07.01.2010, 20:16

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bandchef
Ich hab bisher keinen einzigen Tag an der FH versäumt dazu mal nur so viel...

Ich muss Arthur hier aber recht geben.
Ob du da warst oder nicht, das ist egal. Den Stoff "verpasst" hast du offensichtlich dennoch. Oder kein Stück weit verstanden.

Ich frage mich allerdings, wieso du dich mit einer Aufgabe beschäftigst, die du kein Stück weit verstehst? Es wäre doch in deinem Sinne, erst die Grundlagen zu verstehen und zu beherrschen - und dann solche Aufgaben anzugehen.

Du versuchst ja auch nicht ernsthaft ein Auto zu bauen, ohne dir vorher zu überlegen, wie ein Motor funktioniert. Und wenn doch, dann kannst du ja nur scheitern.

Edit: Und eine Aufgabe konvergiert schonmal garnicht. Nirgendwohin.

air

07.01.2010, 20:20

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es konvergiert nicht gegen 0, zumindest sieht man das nicht so wie du es da aufgeschrieben hast. $\begin{eqnarray*} \frac{0,9^{n+1}*(n+1)^2}{0,9^n*n^2} \end{eqnarray*}$ , du hast 0,9 mit ihrem jeweiligen Exponenten sowohl im Zähler als auch im Nenner stehen, was könnte man da wohl als erstes machen?

07.01.2010, 20:26

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frag mich immer, warum ich da nicht selbst drauf komme :-(

So müssts doch jetzt passen, oder?

$\begin{eqnarray*} 0,9*\frac{(n+1)^2}{n^2} \end{eqnarray*}$

danke, bandchef

07.01.2010, 20:29

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

So siehts schon besser aus, jetzt noch das Binom ausrechnen und weiter vereinfachen, evtl. etwas rausziehen...

07.01.2010, 20:30

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Es konvergiert gegen 0,9...

07.01.2010, 20:32

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie kommst du darauf?

07.01.2010, 20:34

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 0,9 + \frac{1,8}{n} + \frac{0,9}{n^2} \end{eqnarray*}$

07.01.2010, 20:37

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

So sieht das schon besser aus, Rechenwege sind wichtig Augenzwinkern

Also haben wir jetzt mit dem Quotienkriterium ein q gefunden, und man sieht relativ leicht dass |q|=|0,9|<1 ist, was sagt uns das jetzt über die Reihe?

07.01.2010, 20:39

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

da |q|=|0,9|<1 ist die Reihe konvergent...

07.01.2010, 20:41

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau

07.01.2010, 20:41

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Funktioniert nun dieses Quotientenkriterium auch bei dieser Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{(ln(n))^n} \end{eqnarray*}$

danke, bandchef

07.01.2010, 20:45

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs jetzt mal ausprobiert und dabei bei dem hier gelandet:

$\begin{eqnarray*} \frac{(ln(n)^n}{(ln(n+1))^{n+1}} \end{eqnarray*}$

danke, bandchef

07.01.2010, 20:45

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Probierst aus, worst case ist, dass du für |q|=1 raus bekommst, dann muss man anderweitig gucken.

Edit: Ich behaupte aber mal, dass das Quotientenkriterium nicht passt.

07.01.2010, 20:48

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

ab hier $\begin{eqnarray*} \frac{(ln(n)^n}{(ln(n+1))^{n+1}} \end{eqnarray*}$ weiß ich aber leider nicht mehr weiter...

07.01.2010, 20:50

Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor man sich in exzessiven Rechnungen verirrt, sollte man auch einen offenen Blick für andere Reihenkriterien bewahren. Und diese Reihe schreit geradezu nach dem Wurzelkriterium.

07.01.2010, 21:42

Nubler

Auf diesen Beitrag antworten »

majorantenkriterium scheint auch n einzeiler

12.01.2010, 19:17

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Leute!

Ich hoffe es ist in Ordnung, wenn ich diesen alten Thread nochmal hochhole. Es heißt doch in der Aufgabenstellung in meinem ersten Thread hier, dass man Begründen soll ob die Reihe konvergiert oder divergiert. Begründen. Ist damit nun rechnerisch oder durch Worten gemeint weil wir in der FH nix mit Quotienten- Wurzel oder Majorantenkriterium gelern haben!

Ich glaube ich arbeite mit diesen Möglichkeiten ein bisschen an der Aufgabe vorbei, zumal auch gar n icht soviel Platz auf dem Blatt verfügbar ist!

Gibt es da noch andere Möglichkeiten?

danke, bandchef

12.01.2010, 19:23

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bandchef
Ist damit nun rechnerisch oder durch Worten gemeint weil wir in der FH nix mit Quotienten- Wurzel oder Majorantenkriterium gelern haben!

Womit arbeitet ihr denn dann?

Wir haben dir mehrere Vorschläge gegeben, von denen du noch nichts kanntest, die aber absolut üblich für diese Art Aufgaben sind. Wenn du uns aber keine Angaben über deine Möglichkeiten machst, können wir auch nur raten und dir unsere Möglichkeiten anbieten, nur um dann von dir wieder zu hören, dass ihr das nicht verwendet/nicht so macht.

Neue Frage »

Antworten »

Zahlenfolgen...

Verwandte Themen