Beweis Normalteiler über Verknüpfungstafel

08.01.2010, 19:05

imag

Beweis Normalteiler über Verknüpfungstafel

Hallo
Komme bei folgender Aufgabe nict voran.
Ich habe die Gruppen bzw Verknüpfungstafel der Diedergruppe $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ hier =G gegeben und ich soll für $\begin{eqnarray*} N:=\{e,r^2,s,r^2s\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K:=\{e,s\} \end{eqnarray*}$ zeigen:
1) N ist Normalteiler von G,
2) K ist Normalteiler von N,
3) K ist kein Normalteiler von G
Ich kenne die Normalteilereigenschaften... weiß allerdings nicht wie ich das hier in Bezug auf eine Verknüpfungstafel zeigen soll.
Kann mir da jemand weiterhelfen?

08.01.2010, 19:12

Leopold

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Untersuche bei 1), ob $\begin{eqnarray*} xN = Nx \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in D_4 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Entsprechend die andern.

08.01.2010, 20:09

imag

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Danke. Das habe ich gemacht und 2) und 3) konnte ich damit beweisen, aber bei 19 funktionierte es nicht weil
[latex]r^3*s=r^3s\neq s*r^3=rs[/latex} Kann mir das irgendwie nicht erklären. Weil ich muss ja zeigen, dass es ein Normalteiler ist und das würde ja der Behauptung widersprechen.

08.01.2010, 21:52

Leopold

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Es wird ja $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ von den Elementen $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ der Ordnung 4 und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ der Ordnung 2 mit der Relation $\begin{eqnarray*} sr = r^3 s \end{eqnarray*}$ erzeugt. Daraus erhält man weiter

$\begin{eqnarray*} sr^2 = (sr)r = (r^3 s)r = r^3 (sr) = r^3 r^3 s = r^6 s = r^2 s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sr^3 = (sr^2)r = (r^2 s)r = r^2 (sr) = r^2 r^3 s = r^5 s = rs \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} r,s \end{eqnarray*}$ erzeugt wird, genügt es, $\begin{eqnarray*} xN = Nx \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=r,s \end{eqnarray*}$ nachzuweisen. Das ist aber nicht weiter schwer. Als Beispiel rechne ich es für $\begin{eqnarray*} x=s \end{eqnarray*}$ vor:

$\begin{eqnarray*} sN = s \{ e, r^2, s, r^2 s \} = \{ s, sr^2, s^2, sr^2 s \} = \{ s, sr^2, e, r^2 ss \} = \{ s, sr^2, e, r^2 \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ns = \{ e, r^2, s, r^2 s \} s = \{ s, r^2 s, s^2, r^2 s^2 \} = \{ s, sr^2, e, r^2 \} \end{eqnarray*}$

Und dies zeigt: $\begin{eqnarray*} sN = Ns \end{eqnarray*}$

Ohne diese Rechnungen kann man auch abstrakt argumentieren. Da $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ die Ordnung 4 hat, muß der Index $\begin{eqnarray*} \left| D_4 : N \right| = 2 \end{eqnarray*}$ sein.

Es gibt also zwei Linksnebenklassen, $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_4 \setminus N \end{eqnarray*}$ , und ebenso zwei Rechtsnebenklassen, die nämlichen.

Wegen $\begin{eqnarray*} s \in N \end{eqnarray*}$ , muß daher $\begin{eqnarray*} sN = N \end{eqnarray*}$ sein. Und genauso muß $\begin{eqnarray*} Ns = N \end{eqnarray*}$ sein. Es folgt: $\begin{eqnarray*} sN = Ns \end{eqnarray*}$ .

Und wie ist das nun mit $\begin{eqnarray*} rN \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Nr \end{eqnarray*}$ ?

Untergruppen vom Index 2 sind immer Normalteiler.

Vielleicht unterliegst du folgendem Irrtum: Es ist nicht $\begin{eqnarray*} xy=yx \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ verlangt, sondern nur $\begin{eqnarray*} xN = Nx \end{eqnarray*}$ .

09.01.2010, 13:40

imag

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Ja danke für die ausführliche Erklärung. Ich unterlag genau diesem Irrtum Augenzwinkern

Jetzt konnte ich aber alles lösen und es funktioniert. Danke.

10.02.2010, 17:37

schmouk

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Zitat:

Original von Leopold
Wegen $\begin{eqnarray*} s \in N \end{eqnarray*}$ , muß daher $\begin{eqnarray*} sN = N \end{eqnarray*}$ sein. Und genauso muß $\begin{eqnarray*} Ns = N \end{eqnarray*}$ sein. Es folgt: $\begin{eqnarray*} sN = Ns \end{eqnarray*}$ .

Und wie ist das nun mit $\begin{eqnarray*} rN \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Nr \end{eqnarray*}$ ?

Untergruppen vom Index 2 sind immer Normalteiler.

Vielleicht unterliegst du folgendem Irrtum: Es ist nicht $\begin{eqnarray*} xy=yx \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ verlangt, sondern nur $\begin{eqnarray*} xN = Nx \end{eqnarray*}$ .

Hi Leopold. Ich verstehs nicht. Wenn ich jetzt wüsste. Dass mein g und mein g' jeweils in H wären, okay, dann hätte ich gH=g'H=Hg'=Hg. Aber dann hätte ich auch nur einen Index 1. Das kann aber nicht sein, da nach Vor der Index ja 2 ist. Oder sehe ich das falsch?

Komm nich weiter. Vielleicht erstmal das Ziel klären. Konkret muss ich zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} gH=Hg \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'H=Hg' \end{eqnarray*}$ . Dann hätte ich gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \forall g\in G : gH=Hg \end{eqnarray*}$ ? Oder nicht?

10.02.2010, 17:49

Leopold

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