Gestörtes Gleichunssystem (A + dA)x*= b --> mit Normen und Konditionszahl

08.01.2010, 21:08

Chrissi1980

Gestörtes Gleichunssystem (A + dA)x*= b --> mit Normen und Konditionszahl

Hallo liebe Mathefreunde!
Ich habe mal wieder ein problem, bei dem ich eure hilfe brauche!
Also ich soll diese aufgabe lösen:

Statt des Gleichungssystems Ax = b wird das in der Matrix A gestörte Gleichungssystem

(A + dA)x* = b

gelöst.

Dabei gelte: $\begin{eqnarray*} \frac{||dA||}{||A||}=p*eps \end{eqnarray*}$

p=fakor um 10, eps= Maschinengenauigkeit

Zeigen Sie, dass für den relativen Fehler der Lösung x* gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{||x-x^*||}{||x^*||}\leq p*K(A)*eps \end{eqnarray*}$

wobei K(A) die Konditionszahl von A zur gleichen Norm ist.

Ich habe noch keine idee...
Wenn mir einer helfen könnte wäre ich sehr dankbar!

Lieben Gruß an Allle!!!!

09.01.2010, 10:53

Chrissi1980

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Kann mir niemand helfen? Ich stehe immer noch auf dem schlauch.... unglücklich

09.01.2010, 12:35

Chrissi1980

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kann es sein das ich nur p*eps, also die obige formel und ||A^-1||*||A|| für kapa in die unter Formel einsetzen muß??? Aber dann weiß ich nicht mehr weiter...

09.01.2010, 23:51

tigerbine

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Der Störungssatz kann da helfen.

10.01.2010, 22:34

Chrissi1980

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Danke tigerbiene!!! Ich hatte die hoffnung schon aufgegeben das mir jemand hilft!

Hier ist mein rechenweg, wäre nett wenn Du oder jemand anderes nochmal drüber schauen könntest...

(A+dA) x* = b = A x
Ax*+ dAx* =A x
dAx*=Ax-Ax*=A(x-x*)

|| dAx*||=||A(x-x*)||

||dA|| * ||x*|| >= ||A(x-x*)||

||A^-1|| * ||dA|| * ||x*|| >= ||A^-1|| * ||A(x-x*)|| >= ||A^-1 * A (x-x*)||

||A|| * ||A^-1|| * ||dA|| * ||x*|| >= ||A|| * ||x-x*||

$\begin{eqnarray*} ||A||*||A^{-1}||*\frac{||dA||}{||A||} \geq \frac{||x-x*||}{||x*||} \end{eqnarray*}$

wobei ||dA|| / ||A|| = eps * p und ||A|| * ||A^-1|| = K(A)

Könnte das so richtig sein?

Lieben Gruß an Allle!!! smile

10.01.2010, 23:19

tigerbine

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RE: Gestörtes Gleichunssystem (A + dA)x*= b --> mit Normen und Konditionszahl

Zitat:

Original von Chrissi1980

Statt des Gleichungssystems Ax = b wird das in der Matrix A gestörte Gleichungssystem

(A + dA)x* = b

gelöst.

Dabei gelte: $\begin{eqnarray*} \frac{||dA||}{||A||}=p*eps \end{eqnarray*}$

p=fakor um 10, eps= Maschinengenauigkeit

Zeigen Sie, dass für den relativen Fehler der Lösung x* gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{||x-x^*||}{||x^*||}\leq p*K(A)*eps \end{eqnarray*}$

wobei K(A) die Konditionszahl von A zur gleichen Norm ist.

Das LGS soll wohl eindeutig lösbar sein, also dass man A als regulär annehmen darf. Die Kondition ist gerade

$\begin{eqnarray*} K(A)=\|A^{-1}\|\cdot \|A\| \end{eqnarray*}$

Dann muss man also nachweisen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\|x-x^*\|}{\|x^*\|}\leq \|A^{-1}\|\cdot \|A\| \cdot \frac{\|dA\|}{\|A\|} \end{eqnarray*}$

Die beiden Gleichungssysteme
$\begin{eqnarray*} Ax=b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A+dA)x^* = b \Leftrightarrow Ax^* + dAx^* = b \end{eqnarray*}$

Deren Differenz
$\begin{eqnarray*} Ax-Ax^* = dAx^* \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(x-x^*) = dAx^* \end{eqnarray*}$

Die Inverse auf beide Seiten ranmultipliziert

$\begin{eqnarray*} x-x^*=A^{-1} dAx^* \end{eqnarray*}$

Eine verträgliche induzierte Matrix-Norm drauf loslassen

$\begin{eqnarray*} \|x-x^*\|=\|A^{-1} dAx^*\| \end{eqnarray*}$

Submultiplikativ + verträglich

$\begin{eqnarray*} \|x-x^*\|\leq \|A^{-1}\| \| dA\|\| x^*\| \end{eqnarray*}$

Eine Eins einschieben und umstellen

$\begin{eqnarray*} \frac{\|x-x^*\|}{\|x^*\|}\leq \|A^{-1}\|\cdot \|A\| \cdot \frac{\|dA\|}{\|A\|} \end{eqnarray*}$

11.01.2010, 00:06

Chrissi1980

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Danke für Deine ausführliche beschreibung!

Ich hab alles verstanden!

Mein rechenweg müßte doch aber auch richtig gewesen sein?! Der war so wie ich das sehe nur etwas länger...

Lieben Gruß! smile

11.01.2010, 00:10

tigerbine

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Er war ohne Kommentare und nicht getext. Das liest sich... naja... Augenzwinkern

Und erst eine Gleichung (2 Seiten) und dann eine Ungleichung (3 Seiten) finde ich unübersichtlich. Augenzwinkern

11.01.2010, 10:04

Chrissi1980

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Okay danke!! smile

Beim nächsten mal werd ich mehr drauf achten!!!! Versprochen!

Lieben Gruß! smile

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