Reelle Lösungen

08.01.2010, 22:20

Newcomer2009

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Reelle Lösungen

Zeigen Sie, dass es genau zwei reele Lösungen x:= $\begin{eqnarray*} x_{j} \end{eqnarray*}$ , j $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ {1,2}, der Gleichung

$\begin{eqnarray*} 2^{x-1} \end{eqnarray*}$ = 2x+1 gibt.

Geben Sie bitte auch jeweils ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} z_{j} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ so an, dass $\begin{eqnarray*} x_{j} \end{eqnarray*}$ im Intervall [ $\begin{eqnarray*} z_{j} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} z_{j} \end{eqnarray*}$ +1] für j $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ {1,2} liegt. Begründen Sie ihre Lösung bitte ausführlich unter Bezugnahme auf relevanten Sätzen.

Wie gehe ich bei solch einer Aufgabe ran unter welchem Thema finde ich relevante Sätze die ich hier rauf anwenden kann? Für tipps und vll ein paar sätzen wäre ich sehr dankbar.

08.01.2010, 22:33

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Betrachte die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2^{x-1} - (2x+1) \end{eqnarray*}$ ,

von der kannst du mit Hilfe der Ableitung zeigen, dass sie genau ein lokales Extremum hat, und dass sie davor bzw. danach monoton wachsend bzw. fallend ist (passendes bitte zuordnen!). Den Rest besorgt der Zwischenwertsatz unter Einsatz geeignet gewählter Funktionswerte.

08.01.2010, 22:44

Newcomer2009

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dazu schon mal vielen dank Zwischenwertsatz schon mal gehört aber noch nicht gehabt werd ich mal ein wenig lesen gehen.

09.01.2010, 21:42

Newcomer2009

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Erste Ableitung mit der Summenregel:

f(x)= $\begin{eqnarray*} 2^{x-1} \end{eqnarray*}$ - 2x+1

f´(x)= $\begin{eqnarray*} 2^{x-1} \end{eqnarray*}$ (x-1) - 2

Für x= 2 wird meine Funktion gleich 0.
Sollte ich das so machen und wenn ja wie gehe ich weiter vor also was muss ich untersuchen um zu sagen dass es monoton wachsend bzw fallend ist?

09.01.2010, 22:02

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Wenn du die richtige Ableitungsregel $\begin{eqnarray*} (a^x)' = a^x\cdot\ln(a) \end{eqnarray*}$ verwendest, dann kommst du auch zur korrekten Ableitung

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2^{x-1}\cdot \ln(2) - 2 \end{eqnarray*}$ .

09.01.2010, 22:11

Newcomer2009

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Ach ich hab das mit dem Exponenten vergessen dass es dann nich die Summenregel ist.

Setze ich dann x=0 in mein f´(x) ?
Und wie untersuche ich wachsend und fallend wenn f(x)<f(x0) dann ist es monoton fallend?

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09.01.2010, 22:14

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Tut mir leid, das ist nicht mein Fall, eine ziemlich präzise Handlungsanleitung dann noch in die allerkleinsten Teilstückchen zerlegen und vorgekaut präsentieren - das finde ich gerade im Hochschulbereich unangemessen. Denk einfach nochmal ganz genau drüber nach, was ich oben im ersten Beitrag geschrieben habe.

09.01.2010, 22:20

Newcomer2009

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na gut ich verstehs nicht weiß nicht wie ich weitervorgehe aber vielen dank für den Anfang ...

09.01.2010, 22:30

kiste

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Mach doch einfach die Anleitung weiter, bestimme das Extrema und das Monotonieverhalten

09.01.2010, 22:38

Newcomer2009

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An der Stelle x=-2 besitzt es ein Minimun stimmt das soweit?

Ich versuch jetzt noch die Monotonie herauszubekommen.

Und die Funktion ist streng monoton fallend.

09.01.2010, 23:00

kiste

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Nein das stimmt nicht, die Ableitung ist doch nicht 0 an der Stelle...

10.01.2010, 20:05

Newcomer2009

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Ich weiß nicht wie ich das ausrechnen soll ohne Taschenrechner.
Mich verwirrt dieses ln(2). Mein 2^x * 0.5 * ln(2) muss ja 2 sein für ein bestimmtes x, ich weiß nicht gibt es dafür eine Regel die ich anwenden kann?

10.01.2010, 21:10

Newcomer2009

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Das einzige was ich rausbekomme im kopf, denn taschenrechner dürfen wir nicht benutzen

x = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{ln(2)} \end{eqnarray*}$

10.01.2010, 21:43

Newcomer2009

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Stimmt das oder gibt es keine Lösung dafür dass f´(x) = 0 wird ...?

10.01.2010, 23:19

Newcomer2009

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unter verwendung des zwischenwertsatzes sehe ich dann f(4) * f(5)<0 dass es dort eine nullstelle geben muss Es gibt x0 element(4;5) f(x0) = 0.

Meine Funktion ist ja eine stetige Funktion und daher kann ich diesen anwenden.
Und die Funktion ist von links nach rechts streng monoton wachsend.

10.01.2010, 23:24

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Zitat:

Original von Newcomer2009
Und die Funktion ist von links nach rechts streng monoton wachsend.

Wollen wir mal sehen: Es ist

$\begin{eqnarray*} f(1) = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(2) = -3 \end{eqnarray*}$

"Streng monoton wachsend" ist was anderes. Vielleicht denkst du, ich hab dich in meinem ersten Beitrag oben belogen - habe ich nicht. unglücklich

unglücklich

Immerhin ist richtig, dass sich in $\begin{eqnarray*} [4,5] \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ befindet - der erste Lichtblick im Thread.

12.01.2010, 20:12

Newcomer2009

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Also zwischen f(4) und f(5) befindet sich also eine Nullstelle weil ich dort einen wechseln von "-" zu "+" habe.

von diesem f( $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ ) nach links ist die Funktion streng monoton fallend und nach rechts ist sie streng monoton wachsend.

stimmt das soweit und ich habe das mit dem Zwischenwertsatz noch nicht so ganz verstanden könnte mir da jemand helfen?

Arthur Dent vielen dank für den ersten Beitrag " Die Anleitung" die hat mir bisher sehr geholfen ich stand nur aufm schlauch weil ich das thema noch gar nicht hatte...weiß halt nicht wie ich vorgehen musste.

Aber wie habe ich jetzt gezeigt dass es genau zwei reele lösungen gibt? Hilfe wäre sehr nett, da ich wirklich keine Ahnung habe :p. Ich will es schon selbst machen aber ich bräuchte auch die zwischenschritte ein wenig erklärt.

12.01.2010, 20:29

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Für eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit genau einem lokalen Minimum $\begin{eqnarray*} x_M \end{eqnarray*}$ gilt:

(a) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist auf $\begin{eqnarray*} (-\infty,x_M] \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend.

(b) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist auf $\begin{eqnarray*} [x_M,\infty) \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend.

Insbesondere kann es in (a) sowie (b) jeweils höchstens eine Nullstelle geben. Dass es dann auch wirklich eine gibt, dafür sorgt der Zwischenwertsatz. Die Nullstelle im Bereich ´(b) hast du ja nun schon so eingegrenzt, wie es die Aufgabe fordert - bleibt noch die "linke Seite" (a).

Insgesamt ist das eine Art Kurvendiskussion, die selbst Studienanfängern nicht so neu sein sollte - die Analysisausbildung hin zum Abitur sollte ähnliches ja eigentlich enthalten.

P.S.: Der genaue Wert von $\begin{eqnarray*} x_M \end{eqnarray*}$ ist für die vorliegende Aufgabenstellung gar nicht so wichtig - er lässt sich hier aber doch als Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ berechnen:

$\begin{eqnarray*} x_M = 1 + \log_2\left( \frac{2}{\ln(2)} \right) = 2 - \log_2(\ln(2)) \approx 2.53 \end{eqnarray*}$ .

12.01.2010, 20:34

Newcomer2009

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Ich bin im 1.Semester das war alles ziemlich neu für mich und da ich auch noch vorarbeiten will um gut vorbereitet zu sein habe ich alles sehr durcheinander geworfen. Aber Kurvendiskussion sollte ich wirklich noch aus dem Abitur kennen und wissen.

Danke für deine Geduld ich werde jetzt alles nochmal aufschreiben und deinen letzten Beitrag durcharbeiten.

12.01.2010, 21:29

Newcomer2009

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Also f(x) aufstellen dann die 1.Ableitung f´(x).

Mit f´(x) zeige ich, dass es genau ein lokales Extremum gibt.
Dieses liegt zwischen f(2) und f(3) bei ungefähr 2,5. Von diesem Extremum $\begin{eqnarray*} x_{M} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist es monoton wachsend.
Meine Nullstelle in diesem Bereich, erhalte ich durch den Zwischenwertsatz:

f(4)*f(5) <0 $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [4;5]: f( $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ ) = 0 streng monoton wachsend.

f(-1)*f(0) <0 $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [-1;0]: f( $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ ) = 0 streng monoton fallend.

Stimmt das soweit und bin ich jetzt fertig?

Das es sich um ein Minimum handelt, hast du da doch die 2.Ableitung benötigt oder?

12.01.2010, 21:53

Newcomer2009

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RE: Reelle Lösungen

Zitat:

Original von Newcomer2009
Zeigen Sie, dass es genau zwei reele Lösungen x:= $\begin{eqnarray*} x_{j} \end{eqnarray*}$ , j $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ {1,2}, der Gleichung

$\begin{eqnarray*} 2^{x-1} \end{eqnarray*}$ = 2x+1 gibt.

Also das habe ich ja gezeigt, dass es genau zwei reele Lösungen gibt. Was bedeutet das hier eigentlich "x:= $\begin{eqnarray*} x_{j} \end{eqnarray*}$ , j $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ {1,2}, der Gleichung" ? Was ist das für ein j?

Zitat:

Geben Sie bitte auch jeweils ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} z_{j} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ so an, dass $\begin{eqnarray*} x_{j} \end{eqnarray*}$ im Intervall [ $\begin{eqnarray*} z_{j} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} z_{j} \end{eqnarray*}$ +1] für j $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ {1,2} liegt. Begründen Sie ihre Lösung bitte ausführlich unter Bezugnahme auf relevanten Sätzen.

Ich muss die Zahlenwerte so bestimmen das es in diesem Intervall liegt?

Was ich bisher gemacht habe, hab ich verstanden, aber das mit dem $\begin{eqnarray*} z_{j} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ jetzt wieder nicht unglücklich

unglücklich

.

13.01.2010, 00:13

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RE: Reelle Lösungen

Zitat:

Original von Newcomer2009
f(4)*f(5) <0 $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [4;5]: f( $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ ) = 0 streng monoton wachsend.

f(-1)*f(0) <0 $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [-1;0]: f( $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ ) = 0 streng monoton fallend.

Stimmt das soweit

Ja - sofern sich deine Moniotonieanmerkungen auf die jeweiligen Intervalle beziehen.

Zitat:

Original von Newcomer2009
Was bedeutet das hier eigentlich "x:= $\begin{eqnarray*} x_{j} \end{eqnarray*}$ , j $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ {1,2}, der Gleichung" ?

Das ist doch nur eine andere Beschreibung für die beiden Lösungen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Newcomer2009

Zitat:

Geben Sie bitte auch jeweils ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} z_{j} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ so an, dass $\begin{eqnarray*} x_{j} \end{eqnarray*}$ im Intervall [ $\begin{eqnarray*} z_{j} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} z_{j} \end{eqnarray*}$ +1] für j $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ {1,2} liegt. Begründen Sie ihre Lösung bitte ausführlich unter Bezugnahme auf relevanten Sätzen.

Ich muss die Zahlenwerte so bestimmen das es in diesem Intervall liegt?

Das hast du doch bereits getan: $\begin{eqnarray*} z_1=4 \end{eqnarray*}$ steht für das Intervall $\begin{eqnarray*} [4,5] \end{eqnarray*}$ deiner ersten gefundenen Nullstelle, und entsprechend $\begin{eqnarray*} z_2=-1 \end{eqnarray*}$ für das Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,0] \end{eqnarray*}$ .

Du musst dich schon ein wenig mehr anstrengen, die mathematische Symbolik zu analysieren! Ich war eigentlich davon ausgegangen, dass zumindest der Teil klar ist, sonst kannst du doch gar nicht beginnen.

14.01.2010, 20:51

Newcomer2009

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RE: Reelle Lösungen
Ich hatte es heute in der Vorlesung und mir ist jetzt einiges klarer geworden. Aber danke Dent für deine Mühen und deine Geduld.

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