Extremalaufgaben mit Nebenbedingungen |
| 08.01.2010, 22:32 | Mathedame18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Extremalaufgaben mit Nebenbedingungen Ich bin in der 12 Klasse und habe Schwierigkeiten mit einer Aufgabe und hoffe, dass mir hier einer helfen kann!? Und zwar geht es daum; Ich habe ein 500 Meter langes Seil, das in einem Feld so aufgestellt werden soll, sodass ein Rechteck mit dem größt möglichen Flächeninhalt entsteht. Ich habe mir überlegt; 500= 2a+2b und dann die Gleichung durch 2 zu teilen. 250= a+b aber dann habe ich zwei unbekannte Variabeln und es sind mehrer Lösungen möglich.Und hier komme ich nicht weiter vielleicht ist auch mein Ansatz falsch? |
||||||
| 08.01.2010, 22:35 | hut | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, du hast doch noch eine Bedingung, und zwar soll der Flächeninhalt so groß wie möglich sein 
|
||||||
| 08.01.2010, 22:47 | Mathedame 18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich weiß nicht wie ich diese Bedingung nutzen kann. |
||||||
| 08.01.2010, 22:55 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, für die Fläche eines Rechtecks gilt doch: Das ist hier deine Hauptbedingung, denn der Flächeninhalt soll ja maximal werden. Deine Nebenbedingung hast du ja schon gekürzt: Verwende jetzt doch mal deine Nebenbedingung, um in der Hauptbedingung eine Variable zu eliminieren. |
||||||
| 08.01.2010, 23:02 | Mathedame 18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oke ich habe mir jetzt überlegt; a+b=250 b= 250-a A= 250a - a² Oke soweit bin ich dann gekommen aber ich habe immer noch eine Gleichung mit zwei unbekannten Variabeln. Oder ist dieser Ansatz auch falsch |
||||||
| 08.01.2010, 23:06 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist doch schon mal okay so.
Jetzt haben wir unsere Zielfunktion gefunden, indem wir die Infos aus der Nebenbedingung verwendet haben, um in der Hauptbedingung eine Variable zu eliminieren.
Wo siehst du da denn noch zwei unbekannte Variablen? Du hast doch jetzt: Ich sehe da nur eine Variable, nämlich das a. Jetzt müssen wir den Wert für a finden, für den der Flächeninhalt (also A) maximal wird. Wenn wir das haben, finden wir den zugehörigen Wert für b auch ganz leicht. Wie können wir denn nun den Wert für a finden, für den A maximal wird? 
|
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 08.01.2010, 23:14 | Mathedame 18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ähhm ich bin falls du es nicht bemerkt haben solltest Schülerin für mich ist das hier Neuland. Also was ich immer noch nicht verstehe ist, was für ein Wert A(a) ist? Maximalwert? 
|
||||||
| 08.01.2010, 23:26 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielleicht ist das Thema neu für euch, aber euer Lehrer gibt euch sicher nur Aufgaben, die ihr auch mit eurem Wissen lösen könnt. Kannst du denn schon Funktionen ableiten? Damit geht es hier ganz einfach. Wenn du das nicht kennst, geht es auch ohne, aber in der 12. Klasse solltet ihr doch schon Ableitungen gelernt haben, oder? |
||||||
| 08.01.2010, 23:29 | Mathedame 18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja Ableitungen haben wir in der Tat schon gehabt und nein ich habe eigentlich kein Problem mit denen nur verstehe ich nicht wie ich das A(a) berechnen soll. Ich habe mich hier schon dumm und dämlich an einem Freitagabend gerechnet und komme immer noch nicht auf die Lösung. |
||||||
| 08.01.2010, 23:42 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, entschuldige, wenn ich zu schnell war. Dabei bist du jetzt doch eigentlich schon so kurz vor der Lösung.
Was bereitet dir denn noch im Moment Schwierigkeiten? Schau mal, wir haben doch jetzt unsere Zielfunktion schon gefunden. Genauer gesagt, du hast sie gefunden. War doch alles in Ordnung. Die Nebenbedingung hernehmen, nach einer Unbekannten auflösen, in die Hauptbedingung einsetzen. Dadurch verschwindet eine Unbekannte und wir haben eine Zielfunktion gefunden. Das ist doch eine Funktion, abhängig von der Variablen a. Einverstanden? Also gibt diese Funktion dir den Flächeninhalt A abhängig von a an. Und wir müssen nun das a finden, für das die Fläche A maximal wird. So lautet doch die Aufgabenstellung. Wir brauchen also einen Hochpunkt der Funktion A. Und hier kommt die Ableitung ins Spiel. Was kannst du mit der Ableitung denn machen? Lass dich nicht dadurch verwirren, dass hier jetzt anstelle des gewohnten f(x) ein A(a) steht. Läuft doch aufs selbe hinaus. Kannst du auch "Apfel" nennen, wenn du magst. 
|
||||||
| 08.01.2010, 23:52 | Mathedame 18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also tue ich dann folgendes; A`(a)=250-2a das setze ich dann Null ein 0=250-2a und anschließend stelle ich die Gleichung nach a um also hieße das a=125? Aber dann ist es doch ein Quadrat, da b auch 125 ist, damit die Gleichung stimmt. Danke für deine Geduld! |
||||||
| 08.01.2010, 23:57 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ganz genau. Das ist schon alles!
Stimmt. Aber ein Quadrat erfüllt nach Definition auch alle Anforderungen eines Rechtecks. Ein Quadrat ist insofern ein "spezielles" Rechteck. Wenn man in der Aufgabenstellung geschrieben hätte, dass ein Quadrat mit dem größtmöglichen Flächeninhalt entstehen soll, wird die Aufgabe ja witzlos, weil man die Lösung sofort hat.
Dass bei dem 500m Seil das Quadrat die optimale Lösung ist, so dass der Flächeninhalt maximal wird, galt es eben herauszufinden. |
||||||
| 09.01.2010, 00:07 | Mathedame 18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja sorry am Anfang habe ich auch einfach 500 durch 4 geteilt und vor irgendeinem Schritt habe ich die pq Fromel angewendet und da kam auch 125 raus nur ich war verwirrt weil die Bedingung ein Rechteck war naja wenn ich meinen Mathelehrer packe kann man ihn am Sonntag auf dem Marktplatz brennen sehen. Wenn er unbedingt auf ein Rechteck besteht dann könnte ich doch einfach sagen dass a 124,5 und b 125,5 ist und der Flächeninhalt nähren würde? Hab im Buch nachgeguckt Integralrechnung ist das nächste Thema. Danke nochmal und sorry weil ich etwas zickig war!
|
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
| Die Neuesten » |
|
