Flächentheorie

09.01.2010, 16:10

zozo

Flächentheorie

Hallo
Ich habe ein Test ,bitte unglücklich

,ich brauche Hilfe für diese Aufgabe
Die Frage lautet:
Betrachten Sie die durch die Parametrisierung $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} : \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (0,2\pi) \end{eqnarray*}$ X $\begin{eqnarray*} $\mathcal{R}$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathcal{R}^3 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} X(u,v)=( \cos{u},\sin{u},0) + (h(v),0,v) \end{eqnarray*}$
gegebene Fläche im $\begin{eqnarray*} \mathcal{R}^3 \end{eqnarray*}$ ,wobei $\begin{eqnarray*} h: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathcal{R}\rightarrow{\mathcal{R}} \end{eqnarray*}$ eine glatte Funktion sei
1)
Skizzieren Sie die Fläche in den Flächen $\begin{eqnarray*} h\equiv \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(v)=v^2 \end{eqnarray*}$ .
2) Bestimmen Sie den geometrischen Ort der parabolischen Punkte von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ im Fall $\begin{eqnarray*} h(v)=v^2 \end{eqnarray*}$
3) Unter welchen Bedingungen sind die Koordinatenkurven $\begin{eqnarray*} t\mapsto \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} X(u,t) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (u\in(0,2\pi) \end{eqnarray*}$ fest $\begin{eqnarray*} ) \end{eqnarray*}$
Asymptotenlinien von X?
mein Lösung:
zu 1) wir haben
$\begin{eqnarray*} X(u,v)=( \cos{u},\sin{u},0) + (h(v),0,v) \end{eqnarray*}$
wenn $\begin{eqnarray*} h=0 ,h(v)=v^2 \end{eqnarray*}$ ist,ist
$\begin{eqnarray*} X(u,v)=( \cos{u},\sin{u},0) \end{eqnarray*}$
mein Frage ist $\begin{eqnarray*} X(u,v)=( \cos{u},\sin{u},0) \end{eqnarray*}$ ein Kreis in R^2, d.h. X(u,v) nicht eine Fläche verwirrt

für 2) und 3) teile brauche ich eure Hilfe

10.01.2010, 13:53

zozo

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bitte die Hilfe traurig

11.01.2010, 21:08

Abakus

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RE: Flächentheorie
Hallo!

Zitat:

Original von zozo
1)
Skizzieren Sie die Fläche in den Flächen $\begin{eqnarray*} h\equiv \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(v)=v^2 \end{eqnarray*}$ .

Du sollst hier 2 Fälle betrachten, einmal ist h die Nullfunktion und einmal quadratisch. Auf welche Darstellungen kommst du dann?

Grüße Abakus smile

11.01.2010, 22:14

zozo

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was bedeute das?
Bestimmen Sie den geometrischen Ort der parabolischen Punkte

11.01.2010, 22:55

Abakus

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Zitat:

Original von zozo
was bedeute das?
Bestimmen Sie den geometrischen Ort der parabolischen Punkte

Ein geometrischer Ort (Wiki) ist eine Punktmenge mit bestimmten Eigenschaften. "Parabolische Punkte" sagt mir wenig, vielleicht diejenigen Punkte, die auf einer Parabel/einem Paraboloid liegen? Habt ihr den Begriff definiert?

Grüße Abakus smile

12.01.2010, 09:42

Ehos

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Man unterscheidet folgende Flächenpunkte:

(1) elliptischer Punkt:
Dort ist die Fläche nach außen oder nach innen "ausgebeult".
Z.B. besteht eine Kugel nur aus elliptischen Punkten

(2) hyperbolischer Punkt:
Dort ist die Fläche an jedem Punkt "gleichzeitig nach außen und innen ausgebeult".
Z.B. besteht die Oberfläche der Wassertürme bei Kraftwerken aus solchen Punkten.

(3) Parabolischer Punkt:
Dort gibt es Richtungen auf der Fläche, entlang derer keine Krümmung vorhanden ist.
Z.B. ist dies bei einer Zylinderoberfläche der Fall (in Richtung der Achse)

Ich sage dir nun, wie man diese Punkte berechnet.
Das müsstet ihr aber in der Vorlesung gehört haben, weil dies die Grundlagen der Flächentheorie sind.

Gegeben sei eine Fläche durch die Parameterdarstestellung

$\begin{eqnarray*} \vec x(u,v)=\begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechne die beiden Tangenialvektoren $\begin{eqnarray*} \frac{\partial \vec x }{\partial u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial \vec x }{\partial v} \end{eqnarray*}$ und deren Ableitungen $\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2\vec x }{\partial u^2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 \vec x }{\partial u \partial v} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 \vec x }{\partial v \partial u} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2\vec x }{\partial v^2} \end{eqnarray*}$ . Es ist klar, dass dabei der 2. und 3 Term übereinstimmen. Berechne nun den Vektor, der senrecht auf der Fläche steht und den Betrag 1 hat, also

$\begin{eqnarray*} \vec N=\frac{\frac{\partial \vec x}{\partial u} \times \frac{\partial \vec x}{\partial v}}{\left | \frac{\partial \vec x}{\partial u} \times \frac{\partial \vec x}{\partial v} \right |} \end{eqnarray*}$

Nun bestimme die Eigenwerte folgender Matrix, die man (bis auf einen Faktor) auch Weingartenoperator oder Formoperator nennt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\partial ^2\vec x }{\partial u^2} \cdot \vec N& \frac{\partial^2 \vec x }{\partial u \partial v} \cdot \vec N\\ \frac{\partial^2 \vec x }{\partial v \partial u} \cdot \vec N& \frac{\partial ^2\vec x }{\partial v^2} \cdot \vec N \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dort, wo die Eigenwerte gleiche Vorzeichen haben, ist der Punkt elliptisch.
Ist genau ein Eigenwert 0, ist der Punkt parabolisch.
Haben die Eigenwerte unterschiedliche Vorzeichen, ist der Punkt hyperbolisch.

12.01.2010, 21:42

zozo

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danke (Abakus )und (Ehos)
und ich möchte Sie meine Lösung anschauen:
zuerst rechne ich Weingarten:
$\begin{eqnarray*} W=G^{-1 }. B \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} G=\left(\begin{array}{cc}E&F\\F&G\end{array}\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\left(\begin{array}{cc}L&M\\M&N\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E=X_u.X_u =(-\sin(u),\cos(u),0).(-\sin(u),\cos(u),0) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F=X_u.X_v=((-\sin(u),\cos(u),0).(2v,0,1)=-2v \sin(u) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G=X_v.X_v=(2v,0,1).(2v,0,1) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =4v^{2}+1 \end{eqnarray*}$ .Dann folgt

$\begin{eqnarray*} G=\left(\begin{array}{cc}1&-2v\sin(u)\\-2v\sin(u)&4v^{2}+1\end{array}\right) \end{eqnarray*}$
und analog für $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} L=X_{uu} .N^* , M=X_{uv}.N^* , N= X_{vv}.N \end{eqnarray*}$
Der Weingarten ist:
$\begin{eqnarray*} W= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1+4v^{2}\cos(u)^2)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cc}1&-2v\sin(u)\\-2v\sin(u)&4v^{2}+1\end{array}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&2\cos(u)\end{array}\right) \end{eqnarray*}$ .

Dann ist Spur(W) : $\begin{eqnarray*} K_1 ,K_2 \end{eqnarray*}$

folgt von W :

$\begin{eqnarray*} K_1=\frac{4v^2+1}{(1+4v^2\cos(u)^2)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} K_2=\frac{2\cos(u)}{(1+4v^2\cos(u)^2)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

und jetzt kommt die Frage :
wann ist für X parabolischen Punkt? ich meine : müßen sind K1 und K2 gleich Null sein? aber K1 immer nicht gleich null? was kann ich hier verwirrt

sagen

13.01.2010, 10:12

Ehos

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Wie ich bereits geschrieben habe, sind alle diejenigen Punte parabolisch, wo ein Eigenwert der Weingarten-Matrix den Wert 0 hat (nicht beide Eigenwerte).

14.01.2010, 20:18

zozo

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Danke ,

jetzt habe ich verstanden

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