Quadratischer Zahlkörper

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09.01.2010, 17:00	Steffi85	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratischer Zahlkörper Hallo Kann mir jemand erklären, warum die quadratischen Zahlkörper $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt{p}) \ und \ \mathbb Q(\sqrt{q}) \ mit \ p\neq q \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Primzahlen nicht isomorph sind. Viele Grüße, Steffi.
09.01.2010, 17:07	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil es keinen Homomorphismus zwischen den Körpern gibt. Nehme einmal an es gäbe einen und betrachte das Bild von Wurzel p
09.01.2010, 18:40	Steffi85	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deinen Tipp!! Hier ist mein Ansatz: $\begin{eqnarray} Annahme: \ Es \ existiert \ einen \ Isomorphismus \ f \ zwischen \ \mathbb Q( \sqrt{p}) \ und \ \mathbb Q( \sqrt{q}). \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \exists a, b \in \mathbb Q: \ f(\sqrt{p})=a+b\sqrt{q}. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Da \ f \ ein \ Homomorphismus \ ist, \ gilt:f(\sqrt{p})=f(0)+f(1)f(\sqrt{p}), \ wobei f(0)=0 \ und \ f(1)=1. \\ Damit \ ist \ a=0 \ und \ b=1. \ Also: f(\sqrt{p})=\sqrt{q}. \end{eqnarray}$ Aber irgendwie, weiß ich nicht weiter. Heißt es jetzt einfach nur, dass f die Identität ist und damit p=q? Was ein Widerspruch zur Voraussetzung wäre. Thanks!!
09.01.2010, 18:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nicht ganz so einfach. Aus $\begin{eqnarray} f(\sqrt p)=f(\sqrt p) \end{eqnarray}$ kannst du gar nichts schließen. Besser: Betrachte das Quadrat von $\begin{eqnarray} f(\sqrt p)=a+b\sqrt q \end{eqnarray}$
09.01.2010, 18:56	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Was wäre f(p)? Edit: Sorry Elvis, habe deinen Beitrag nicht bemerkt.
09.01.2010, 19:31	Steffi85	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ihr zwei!! Danke für eure Antworten!! Stimmt mein Ansatz bis jetzt also? Ich komme nicht so ganz klar... Wenn es stimmt, dann ist f(p)=q, da a=0 und b=1. Wenn nicht, dann ist $\begin{eqnarray} f(p)=a^{2}+2ab\sqrt{q}+q \end{eqnarray}$
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09.01.2010, 19:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, dein Ansatz ist falsch. Die letzte Gleichung ist richtig und zielführend.
09.01.2010, 19:59	Steffi85	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aber ich verstehe es einfach nicht. Ich starre diese Gleichung an, aber sie hilft mir nicht...
09.01.2010, 20:03	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
p ist rational, und was gilt für rationale Zahlen unter Körperhomomorphismen? Also ist auch f(p) = ?
09.01.2010, 20:21	Steffi85	Auf diesen Beitrag antworten »
p ist rational, dh f(p) muss auch rational sein, da Körperhomomorphismen strukturerhaltende Abbildungen sind. Da aber $\begin{eqnarray} f(p)=(a+b\sqrt{q})^2=(a^2+2ab\sqrt{q}+b^2q) \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} 2ab\sqrt{q} \end{eqnarray}$ nicht rational ist, ist f(p)nicht rational. Das wäre ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass die beiden Körper isomorph sind. Stimmt das nun?? Okay, diese beiden quadratischen Zahlkörper sind also (als Körper) nicht isomorph. Was sagt mir das denn? Und nochmals, vielen Dank für eure Hilfe!!
09.01.2010, 20:39	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht nur rational, es gilt sogar f(p) = p. Aber es folgt bisher nur dass a = 0 oder b=0. Damit kommt man aber dann auch zu einem Widerspruch. Was soll die Frage was dir dass dann sagt? Das war doch deine Frage?
09.01.2010, 20:48	Steffi85	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist f(p)=p? Und warum folgt aus der Gleichung, dass a=0 oder b=0? Wäre der Beweis nicht fertig, so wie ich ihn gemacht habe? Meine Frage (aus reinem Interesse und auch für mein Verständnis) hat sich mehr darauf bezogen, was man damit zB beweisen könnte, wenn man weiß, dass die beiden quadr. Zahlkörper nicht isomorph sind.
09.01.2010, 20:51	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum f(p) = p ist überlegst du dir selbst. Das folgt direkt daraus dass f eine Hom. ist. Dein Beweis ist eben nicht fertig, dein Widerspruch funktioniert nur wenn die Zahl eben irrational ist. Und das ist nur der Fall wenn ... gilt. Mir fällt nichts ein wofür man die Aussage brauchen könnte. Ist eben irgendeine Eigenschaft die man leicht beweisen kann
09.01.2010, 21:02	Steffi85	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, vielen Dank für deine Hilfe!! So leicht fand ich das jetzt nicht. Fertig bin ich eh noch nicht. Noch einen schönen Abend!
10.01.2010, 11:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
@Steffi85 Du bist noch nicht fertig, für Kiste ist das alles völlig klar, aber für dich noch nicht. Du musst noch ein bißchen rechnen, begründen und Schlüsse ziehen, bevor dein Beweis fertig ist. Ich gebe dir eine weitere Hilfe, und dann musst du mal wieder ein bißchen mitdenken, bitte. Ein Isomorphismus $\begin{eqnarray} f:\mathbb Q(\sqrt p)\to\mathbb Q(\sqrt q) \end{eqnarray}$ lässt $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ elementweise fest, also ist $\begin{eqnarray} f(p)=p \end{eqnarray}$ , und wir haben $\begin{eqnarray} p=f(p)=f((\sqrt p)^2)=(f(\sqrt p))^2=(a+b\sqrt q)^2=a^2+2ab\sqrt q+b^2q \end{eqnarray}$ . Warum ist es hochinteressant, dass alle quadratischen Zahlkörper $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt p),\mathbb Q(\sqrt q) \end{eqnarray}$ für verschiedene Primzahlen p,q nicht isomorph sind ? Wären sie isomorph oder für bestimmte Klassen von Primzahlen isomorph, so würde uns das Einsichten in die Primzahlen geben. Sie sind es aber eben nicht, also ist jeder quadratische Zahlkörper interessant, und wir müssen uns in der Zahlentheorie andere Methoden zur Untersuchung quadratischer Zahlkörper beschaffen.
10.01.2010, 14:27	Steffi85	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Elvis!! Danke für deinen Eintrag!! Das habe ich nicht gewusst, dass ein Isomorphismus zwischen den beiden Körpern $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ elementweise festlässt. Dann ist es ganz klar, dass f(p)=p ist. Dann folgt, dass a=0 ober b=0 ist, sonst wäre f(p) nicht in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Ich habe eine Fallunterscheidung gemacht und für a=0 gab es einen Widerspruch, für b=0 auch. Also können die beiden Körper nicht isomorph sein. Danke nochmals!!
10.01.2010, 14:30	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das finde ich unverständlich. Wenn ich dir sage dass f(p) = p gilt dann glaubst du das nicht, wenn Elvis das (auch nicht viel schwerer zu beweisende) Resultat erwähnt dass $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ fix ist so glaubst du das? Von Mathematikern erwarte ich mehr, also mach dich daran das Resultat zu beweisen
10.01.2010, 14:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So isses ! für a=0 ist p=b^2*q für b=0 ist p=a^2 beides kann für eine primzahl p nicht sein.
10.01.2010, 15:29	Steffi85	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht falsch verstehen, bitte. Ich habe es dir geglaubt. Nur ich wusste nicht, warum das so ist. Elvis hat zusätzlich noch gesagt, dass Isomorphismen Q fest lassen (ich nehme an, wegen der Bijektivität von f und zusätzlich noch wegen den Homomorphismen-Eigenschaft). Das hat's auf jeden Fall verständlicher gemacht. Du, eine Mathematikerin bin ich noch lange nicht An euch beide, danke!!
10.01.2010, 15:36	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Homomorphie-Eigenschaft reicht dafür vollkommen. Man nennt $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ auch einen Primkörper deswegen.

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