mittelpunkt und Radius einer kugel

10.01.2010, 13:42

kokoxx

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mittelpunkt und Radius einer kugel

An alle schlauen Köpfe!
Ich sitze schon seid einigen Stunden an einer matheaufgabe, die ich einafch nicht durchschaue. Stehe irgendwie auf dem Schlauch.

Kugel: x² - 44x + y² + 16y + z² - 16z = -563

Ermittle den Mittelpunkt M und den Radius r.

Alles was ich weiß ist, dass ich zu aller erst die Gleichung umschreiben muss. aber wie?

bitte gebt mir ein paar tipps.

vielen dank.

10.01.2010, 14:00

riwe

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RE: mittelpunkt und Radius einer kugel
quadratische ergänzung(en)
(x - 22)² +.....

10.01.2010, 14:09

kokoxx

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RE: mittelpunkt und Radius einer kugel
vielen dank für deine antwort aber heißt das das das dann so aussieht?

(x-22)² + (y+8)² + (z-8)² = 0 ? und wie geht es dann weiter?

10.01.2010, 14:27

riwe

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RE: mittelpunkt und Radius einer kugel

Zitat:

Original von kokoxx
vielen dank für deine antwort aber heißt das das das dann so aussieht?

(x-22)² + (y+8)² + (z-8)² = 0 ? und wie geht es dann weiter?

nein, es handelt sich um keine "nullkugel" geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} ...= 22²+8²+8²-563\neq 0 \end{eqnarray*}$

10.01.2010, 14:58

kokoxx

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RE: mittelpunkt und Radius einer kugel
ok also --> (x-22)² + (y+8)² + (z-8)² = 22² + 8² + 8² -563
und wie komme ich jetzt auf mittelpunkt und radius?

10.01.2010, 15:06

riwe

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RE: mittelpunkt und Radius einer kugel
$\begin{eqnarray*} M(m_x/m_y/m_z)\to (x-m_x)^2+(y-m_y)^2+(z-m_z)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

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10.01.2010, 15:10

kokoxx

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RE: mittelpunkt und Radius einer kugel
also ist der mittelpunkt
M (22/-8/8)
und der Radius
r = 7

stimmt das?

10.01.2010, 15:44

riwe

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RE: mittelpunkt und Radius einer kugel
Freude

Freude

10.01.2010, 15:52

kokoxx

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RE: mittelpunkt und Radius einer kugel
nur noch eine klitzekleine frage:

ich habe ja jetzt die kugel
koordinatengleichung: (x-22)² + (y+8)² + (z-8)² = 49
den mittelpunkt: M (22/-8/8)
und den radius: r=7

jetzt habe ich eine gerade, die von einem außerhalb liegenden punkt P(-2/4/0) zum MIttelpunkt führt. ich soll herrausfinden an welchen punkt die gerade in die kugel eintritt. an welchen punkt sie sie schneidet.

wie mach ich das?

10.01.2010, 16:01

riwe

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RE: mittelpunkt und Radius einer kugel
wo ist das problem verwirrt

verwirrt

1) stelle die geradengleichung auf

2) setze für x, y und z die komponenten der geraden ein, dann bekommst du eine quadratische gleichung
für den geradenparameter (t) und damit die beiden schnittpunkte S1 und S2

3) bestimme die abstände PS1 und PS2

10.01.2010, 16:24

kokoxx

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RE: mittelpunkt und Radius einer kugel
ok also ich habe zuerst die gleichung aufgestellt:

x = (-2/4/0) + s (22/-8/8)

jetzt habe ich die allgemeinen koordinaten in die koordinatengleichung der kugel eingesetzt.

(-2+22s-22)² + (4-8s+8)² + (8s-8)² =49

4 + 44s² + 44 + 8 + 64s² + 64 + 64s² - 64 = 49

56 + 172s² = 49

172s² = -7

s² = - 7/172

das geht doch nicht also ich komme nicht weiter. wie komme ich jetzt auf die schnittpunkte? wo habe ich in der rechnung fehler gemacht? oder ist alles komplett falsch??

10.01.2010, 16:30

riwe

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RE: mittelpunkt und Radius einer kugel

Zitat:

Original von kokoxx
ok also ich habe zuerst die gleichung aufgestellt:

x = (-2/4/0) + s (22/-8/8)

jetzt habe ich die allgemeinen koordinaten in die koordinatengleichung der kugel eingesetzt.

(-2+22s-22)² + (4-8s+8)² + (8s-8)² =49

4 + 44s² + 44 + 8 + 64s² + 64 + 64s² - 64 = 49

56 + 172s² = 49

172s² = -7

s² = - 7/172

das geht doch nicht also ich komme nicht weiter. wie komme ich jetzt auf die schnittpunkte? wo habe ich in der rechnung fehler gemacht? oder ist alles komplett falsch??

die geradengleichung ist falsch geschockt

geschockt

das ist doch kein richrungsvektor der geraden
$\begin{eqnarray*} \vec{r}=\begin{pmatrix} m_x-p_x \\ m_y-p_y\\ m_z-p_z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.01.2010, 16:36

Leopold

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kleine Vereinfachung:

Mit dem Ansatz

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{p} + s \, \overrightarrow{PM} \end{eqnarray*}$

zeigt der Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{u} = \overrightarrow{PM} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ aus in Richtung Kugelmitte. Wenn der Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ tatsächlich außerhalb der Kugel liegt, müßten sich also zwei positive $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ -Werte ergeben. Der $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ nächstgelegene Schnittpunkt mit der Kugel gehört dann zum kleineren $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ -Wert. Eine Abstandsberechnung ist nicht erforderlich.

10.01.2010, 16:57

kokoxx

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ok ich habe es jetzt so gerechnet:

geradengleichung:

x = (-2/4/0) + s (24/-12/8)

einsetzten...

(-2 + 24s - 22)² + (4 - 12s + 8)² + (8s - 8)² = 49

4 + 576s² - 484 + 16 + 144s² + 64 + 64s² - 64 = 49

784 s² - 464 = 49

784s² = 513

s² = 513/784

???

stimmt das so?

10.01.2010, 17:00

Leopold

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$\begin{eqnarray*} (a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 \ \ \ \text{?????????????} \end{eqnarray*}$

10.01.2010, 17:02

riwe

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Zitat:

Original von Leopold
kleine Vereinfachung:

Mit dem Ansatz

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{p} + s \, \overrightarrow{PM} \end{eqnarray*}$

zeigt der Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{u} = \overrightarrow{PM} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ aus in Richtung Kugelmitte. Wenn der Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ tatsächlich außerhalb der Kugel liegt, müßten sich also zwei positive $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ -Werte ergeben. Der $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ nächstgelegene Schnittpunkt mit der Kugel gehört dann zum kleineren $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ -Wert. Eine Abstandsberechnung ist nicht erforderlich.

ja klar, danke schön

10.01.2010, 17:05

kokoxx

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du jetzt blick ich gar nicht mehr durch? wie geht das denn nun alle sagen was anderes!

10.01.2010, 17:07

Leopold

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Deine Strategie ist ja absolut richtig. Nur rechnen kannst du nicht ...

A L G E B R A ! A L G E B R A ! A L G E B R A !

10.01.2010, 17:19

kokoxx

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was mach ich falsch. wo liegen die fehler? ist es beim auflösen der klammern passiert? oder wo?

10.01.2010, 17:21

Airblader

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siehe letzter Post auf der ersten Seite von Leopold?

air

10.01.2010, 17:30

riwe

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Zitat:

Original von kokoxx
was mach ich falsch. wo liegen die fehler? ist es beim auflösen der klammern passiert? oder wo?

zuesrt in der klammer ^möglichst vereinfachen (addieren/subtrahieren)
dann beachte
$\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

10.01.2010, 18:17

kokoxx

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ich habe jetzt raus

656 - 1568s + 784s² = 49

ich habe irgendwie schwierigkeiten jetzt die beiden s rauszufinden.

10.01.2010, 18:33

riwe

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Zitat:

Original von kokoxx
ich habe jetzt raus

656 - 1568s + 784s² = 49

ich habe irgendwie schwierigkeiten jetzt die beiden s rauszufinden.

656 ist falsch unglücklich

unglücklich

dsas sollte man schon kennen

$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c=0\to x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

10.01.2010, 18:45

kokoxx

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ist das jetzt nur falsch weil ich noch nicht - 49 gerechnet habe? ich finde den fehler in meiner rechnung nicht.

10.01.2010, 18:52

riwe

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ich sage und schreibe, was ich meine:
die ZAHL 656 ist FALSCH unglücklich

unglücklich

du hast doch in der klammer dieselben zahlen,
wieso sollte da einmal (richtig) 784 und einmal (falsch) 656 rauskommen verwirrt

verwirrt

10.01.2010, 19:11

kokoxx

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ok also

784 - 1568s + 784 s² = 49

735 - 1568s + 784 s² = 0

alles gut so??

10.01.2010, 20:02

riwe

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du kannst doch nicht im ernst nach jedem (grund)rechenschritt nachfragen.

ja, hurra, du hast richtig subtrahiert unglücklich

unglücklich

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