Rang Matrix

Neue Frage »

10.01.2010, 14:50	sternchen09	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang Matrix Hallo Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe: Es seien K ein Körper^. $\begin{eqnarray} A \in K^{mxn} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \in K^{nxr} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie a) Es gilt RangA + RangB - n =< Rang(AB) =< min(RangA,RangB). b) Ist RangB=n, so gilt: Rang(AB)=Rang(A) Bei a) Ich habe mir gedacht, dass man dies mit hilfe den dazugehörigen linearen Abbildungen beweisen könnte und dann mit dem dimensionssatz. Also es gilt: rg(A)=n - dim Kern $\begin{eqnarray} \psi_A \end{eqnarray}$ rg(B)=r - dim Kern $\begin{eqnarray} \psi_B \end{eqnarray}$ rg(B)=r - dim Kern $\begin{eqnarray} \psi_{AB} \end{eqnarray}$ Aber da komme ich auch nicht mit wirklich weiter. Vielen Dank schon im Vorraus!
10.01.2010, 16:41	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix Hi Sternchen, Deine Folgerung aus dem Dimensionssatz ist falsch. Wenn $\begin{eqnarray} \psi_A: V\to W \end{eqnarray}$ ist, so ist doch $\begin{eqnarray} V/{\rm Ker}(\psi_A)\cong {\rm Im}(\psi_A) \end{eqnarray}$ Demzufolge ist $\begin{eqnarray} {\rm rg}(\psi_A)=m-{\rm dim}({\rm Ker}(\psi_a)) \end{eqnarray}$ usw. Versuche auch mal ein paar Teilmengeninklusionen zwischen den Kernen und Bildern der drei Abbildungen zu finden. In welcher Beziehung stehen zum Beispiel $\begin{eqnarray} {\rm Ker}(\psi_A) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} {\rm Ker}(\psi_{AB}) \end{eqnarray}$ ? Wie verhält es sich mit $\begin{eqnarray} {\rm Im}(\psi_B) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} {\rm Im}(\psi_{AB}) \end{eqnarray}$ ? Das wird Dir ein paar geeignete Abschätzungen liefern. Gruß, Reksilat.
10.01.2010, 16:54	sternchen09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix Aber die Abbildung lautet wie folgt: $\begin{eqnarray} \psi_A: K^n --> K^m \end{eqnarray}$ und dimK^n=n, also war meins richtig.
10.01.2010, 16:58	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix Sorry, Denkfehler.
10.01.2010, 17:07	sternchen09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix eine abschätzung habe ich gefunden: $\begin{eqnarray} Bild(\psi_{AB}) \subseteq Bild(\psi_A) \end{eqnarray}$ Daher folgt: $\begin{eqnarray} rgAB \leq rgA \end{eqnarray}$ Aber mehr find ich einfach nicht. Und ich komme da auch nicht wirklich mit weiter.
10.01.2010, 17:13	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix Zwischen $\begin{eqnarray} Ker(\psi_{AB}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Ker(\psi_B) \end{eqnarray}$ solltest Du aber auch leicht eine Inklusion finden. Außerdem kannst Du mit den obigen Gleichungen die erste zu zeigende Ungleichung bei a) auch schon umformulieren.
Anzeige

10.01.2010, 17:19	sternchen09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix Beim Kern bin ich mir nicht sicher, es müsste aber: $\begin{eqnarray} kern(\psi_B) \subseteq kern(\psi_{AB}) \end{eqnarray}$ sein, aber es könnte auch ein denkfehler sein.
10.01.2010, 17:23	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix Ist $\begin{eqnarray} x\in Ker\psi_B \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \psi_B(x)=0 \end{eqnarray}$ , so ist natürlich auch $\begin{eqnarray} \psi_A(\psi_B(x))=\psi_A(0)=0 \end{eqnarray}$ . Das ist soweit korrekt.
10.01.2010, 17:27	sternchen09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix super, jetzt habe ich auch den ersten Teil der Ungleichung fertig bewiesen, das ging dann ganz einfach, nur bei der zweiten... Auf jeden Fall kann man hier benutzen, dass $\begin{eqnarray} Bild(\psi_{AB}) \subseteq Bild(\psi_A) \end{eqnarray}$ Aber damit habe ich nicht den RangB mit drin. Da weiß ich nicht weiter.
10.01.2010, 17:30	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix $\begin{eqnarray} \psi_B:K^r\to K^n \end{eqnarray}$ Wenn der Rang von $\begin{eqnarray} \psi_B \end{eqnarray}$ gerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist, dann kann man das Bild von $\begin{eqnarray} \psi_B \end{eqnarray}$ konkret angeben.
10.01.2010, 17:37	sternchen09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix ja, danke, damit ist auch aufgabenteil b erledigt. Aber mir fehlt immer noch die zweite Ungleichung von a). Warum muss rgAB =< min(rgA,rgB)???
10.01.2010, 17:54	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix Du hast doch oben bereits $\begin{eqnarray} kern(\psi_B) \subseteq kern(\psi_{AB}) \end{eqnarray}$ gefunden. Das liefert Dir doch mit den Gleichungen vom Anfang eine Abschätzung für den Rang von $\begin{eqnarray} \psi_B \end{eqnarray}$ . Allerdings bin ich jetzt doch überrascht, dass Du die erste Ungleichung bei a) schon hast, da diese eigentlich schwerer ist. Egal, Du wirst wissen, was Du schreibst.
10.01.2010, 18:08	sternchen09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix ups, ich glaube ich habe bei der ersten Ungleichung einen Fehler gemacht... $\begin{eqnarray} rgA + rgB - n = n - dim kern(\psi_A) + r - dim kern(\psi_B) - n \leq r- dim Kern (\psi_{AB}) - dim Kern(\psi_{AB}) \end{eqnarray}$ da liegt mein fehler, die abschätzung ist falsch, kannst du mir da helfen???
10.01.2010, 18:10	sternchen09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix da ist ein fehler oben beim abtippen passiert, das letzte ist nicht AB sondern nur A
10.01.2010, 18:11	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix Betrachte bei der ersten Ungleichung die Einschränkung von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} Bild(\psi_B) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} A_{\|Bild(\psi_B)}:Bild(\psi_B)\to K^m \end{eqnarray}$ Auch hier gilt der Homomorphiesatz. Das Bild dieser Abbildung kann man angeben, den Kern - wie oben - geeignet abschätzen.
10.01.2010, 18:23	sternchen09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix das Bild dieser Abbildung ist $\begin{eqnarray} bild(\psi_{AB}) \end{eqnarray}$ oder ? der Kern müsste eine Teilmenge von $\begin{eqnarray} Bild(\psi_B) \end{eqnarray}$ sein, oder?? Edit: LaTeX korrigiert. Gruß, Reksilat.
10.01.2010, 18:26	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix Beides richtig, nur bringt Dir nur die erste Aussage etwas. Für die zweite Aussage brauchen wir eine andere Abschätzung. Schau auch mal auf die zu beweisende Gleichung, da siehst Du dann schon, auf was es hinauslaufen soll. PS: Als unangemeldeter Nutzer kannst Du Deine Beiträge nicht editieren. Du solltest daher immer die Vorschau verwenden.
10.01.2010, 18:30	sternchen09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix ich stehe auf dem schlauch, ich komme nicht drauf, Bitte hilf mir!!!
10.01.2010, 18:38	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix Vier Minuten sind für so eine Antwort zu wenig. Das Matheboard ist kein Live-Chat. Wenn es mal nicht so klappt, auch etwas länger überlegen.
10.01.2010, 18:41	sternchen09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix müsste es so sein: $\begin{eqnarray} kern(\psi_{A\|Bild\psi_B}) \subseteq kern (\psi_A) \end{eqnarray}$ Aber ich kann es nicht richtig begründen.
10.01.2010, 18:47	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix Der Kern besteht doch aus allen Elementen des Definitionsbereichs, die auf 0 abgebildet werden. $\begin{eqnarray} \psi_A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi_{A_{\|Bild\psi_B}} \end{eqnarray}$ unterscheiden sich jetzt eben nicht dadurch, welche Elemente sie auf 0 abbilden, sondern nur durch die Größe des Definitionsbereichs. Du kannst Dir das auch immer klarmachen, indem Du die jeweilige Mengendefinition aufschreibst.
10.01.2010, 18:49	sternchen09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix das heißt meine Abschätzung ist richtig? Dann würde mein Beweis jetzt nämlich aufgehen.
10.01.2010, 18:51	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix Wenn Du meiner obigen Argumentation folgen konntest und Dir die Abschätzung damit erklären konntest, dann bist Du fertig.
10.01.2010, 18:52	sternchen09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix ja, konnte ich! DANKE!!! Du hast mir sehr viel geholfen!
11.01.2010, 20:52	sternchen09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix Ich habe noch eine Frage: Ist die Abbildung: $\begin{eqnarray} \psi_{A\|bild\psi_B} \end{eqnarray}$ die gleiche Abbildung wie: $\begin{eqnarray} \psi_{AB} \end{eqnarray}$ ???? Ich bin der Meinung nein, kann es aber nicht richtig begründen.
12.01.2010, 00:53	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang Matrix Es ist: $\begin{eqnarray} \psi_{A\|bild\psi_B}: bild(\psi_B)\to K^m \end{eqnarray}$ , wobei ja $\begin{eqnarray} bild(\psi_B) \end{eqnarray}$ eine Teilmenge des $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ ist. dagegen ist: $\begin{eqnarray} \psi_{AB}:K^r\to K^m \end{eqnarray}$ Die beiden Abbildungen sind also schon mal auf grundverschiedenen Gebieten definiert und außerdem operiert die erste Abbildung ja nur so wie $\begin{eqnarray} \psi_A \end{eqnarray}$ operiert, wohingegen die zweite Abbildung wie die Komposition von $\begin{eqnarray} \psi_B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi_A \end{eqnarray}$ operiert. Gruß, Reksilat.

Neue Frage »

Antworten »

Rang Matrix

Verwandte Themen