Sind diese Vektorfamilien linear unabhängig? Bilden sie Basen?

10.01.2010, 18:15

Nuit Blanche

Sind diese Vektorfamilien linear unabhängig? Bilden sie Basen?

Hey Leute,

das nächste Testat ist schon in 4 Tagen und nebenbei bereitet uns das neue Übungsblatt eine Sorge nach der anderen. Hierbei geht es auf jeden Fall um das Thema Basis und Dimension.
Meine Frage an euch ist, ob folgende Familien von Vektoren linear unabhängig sind. Wenn ja, bilden sie Basen? Wenn nein, gib eine maximale linear unabhängige Teilfamilie an.
Vorweg möchte ich auch wissen, ob es bei der Ermittlung von Basen genügt, zu zeigen, dass die Vektorenfamilie lediglich linear unabhängig ist. Oder muss ich noch etwas Wichtiges beachten?
Hier sind zwei der Vektorenfamilien, für die wir das zeigen müssen:

a) $\begin{eqnarray*} v_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} , v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} , v_4 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} , v_5 = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} im \mathbb Q -VR \mathbb Q^4 \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} f_1 (X) = X^3 - X , f_2 (X) = X^3 - 3X^2 + 2X, f_3 (X) = X^3 - X^2 - 2X \in \mathbb Q -VR \mathbb Q\left[X\right]_4 \end{eqnarray*}$

Für a habe ich ein LGS erstellt:
$\begin{eqnarray*} a \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + c \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix} + d \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 3 \\ 6\end{pmatrix} + e \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5a - 2b + c - d + 2e = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b + 2c + 3d + 4e = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3c + 3d + 6e = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2b + 4c + 6d + 8e = 0 \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht, die Gleichungen zu lösen, jedoch nicht nach dem Gauss'schen Diagonalverfahren, sondern anch dem guten alten Verfahren, das man selbst in einem Mathe-GK lernt. :-)
Nun gut, so kam ich auf folgendes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} b = - d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \frac{2}{5} d = - \frac{2}{5}b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = 0 = b = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = - 2e \end{eqnarray*}$ , wenn man a = b = d = 0 in die 4 Gleichungen einsetzt

Ist die Vektorenfamilie nun linear abhängig oder doch unabhängig und vielleicht eine Basis?

Liebe Grüße,

D.

10.01.2010, 18:20

kiste

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Es wäre vielleicht hilfreich zu denken und nicht nur zu rechnen.
5 Vektoren in einem 4 dimensionalen Raum müssen linear abhängig sein.
Außerdem sieht man direkt dass v5 ein Vielfaches von v3 ist(das hast du durch lösen der Gleichungen dann auch mitbekommen Augenzwinkern

).

Eine linear unabhängige Menge von Vektoren deren Anzahl genau der Dimension des Raums entspricht ist eine Basis

10.01.2010, 18:24

Nuit Blanche

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Oh, und zu Aufgabe b) habe ich vergessen zu erwähnen, dass wir in unserem Tutorium Vektorfamilien dieser Art so gelöst haben:

$\begin{eqnarray*} a \cdot (x^3 - x) + b \cdot (x^3 - x^2 - 2x) + c \cdot (x^3 - 3x^2+2x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (a + b + c) \cdot x^3 + (-b -3c) \cdot x^2 + (-a - 2b + 2c) \cdot x \end{eqnarray*}$

Hilft das vielleicht weiter?

Liebe Grüße,

D.

10.01.2010, 18:27

Nuit Blanche

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Zitat:

Original von kiste
Es wäre vielleicht hilfreich zu denken und nicht nur zu rechnen.
5 Vektoren in einem 4 dimensionalen Raum müssen linear abhängig sein.
Außerdem sieht man direkt dass v5 ein Vielfaches von v3 ist(das hast du durch lösen der Gleichungen dann auch mitbekommen Augenzwinkern

).

Eine linear unabhängige Menge von Vektoren deren Anzahl genau der Dimension des Raums entspricht ist eine Basis

Also müsste ich quasi $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} v_5 \end{eqnarray*}$ rauswerfen und dann mit Hilfe von den nur 4 Vektoren die Basis bestimmen?

10.01.2010, 18:27

kiste

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Ja, durch Koeffizientenvergleich folgt nun dass die einzelnen Koeffizienten 0 sind und du hast ein "normales" Gleichungssystem

Was heißt Basis bestimmen? Die restlichen bilden dann eben eine Basis.
Und bitte unterlasse Doppelposts. Das hättest du genauso gut in den letzten Beitrag reineditieren können

10.01.2010, 18:33

Nuit Blanche

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Zitat:

Original von kiste
Ja, durch Koeffizientenvergleich folgt nun dass die einzelnen Koeffizienten 0 sind und du hast ein "normales" Gleichungssystem

Was heißt Basis bestimmen? Die restlichen bilden dann eben eine Basis.
Und bitte unterlasse Doppelposts. Das hättest du genauso gut in den letzten Beitrag reineditieren können

OK, ich werde es noch einmal neu aufschreiben und wenn ich noch eine Frage habe, melde ich mich. Ich danke dir! smile

Und sorry wegen des Doppelposts.^^

10.01.2010, 22:41

Nuit Blanche

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Gut, ich habe also, nachdem ich $\begin{eqnarray*} v_5 \end{eqnarray*}$ rausgeworfen habe, nur noch ein LGS mit 4 Variablen:

$\begin{eqnarray*} 5a - 2b + c - d = 0 \end{eqnarray*}$ (I)

$\begin{eqnarray*} b + 2c + 3d = 0 \end{eqnarray*}$ (II)

$\begin{eqnarray*} 3c + 3d = 0 \end{eqnarray*}$ (III)

$\begin{eqnarray*} 2b + 4c + 6d = 0 \end{eqnarray*}$ (IV)

Nun ist (IV) ja mit 2 gekürzt dasselbe wie (II), sodass ich im Endeffekt nur 3 Gleichungen habe:

$\begin{eqnarray*} 5a - 2b + c - d = 0 \end{eqnarray*}$ (I)

$\begin{eqnarray*} b + 2c + 3d = 0 \end{eqnarray*}$ (II)

$\begin{eqnarray*} 3c + 3d = 0 \end{eqnarray*}$ (III)

Aus (III) ergibt sich: $\begin{eqnarray*} c = -d \end{eqnarray*}$ ,

c wiederum eingesetzt in (II): $\begin{eqnarray*} b + d = 2b + 2d = 0 \end{eqnarray*}$
und in (I): $\begin{eqnarray*} 5a - 2b - 2d = 0 \end{eqnarray*}$

Addiere ich diese neuen Gleichungen miteinander, ergibt sich: $\begin{eqnarray*} 5a = 0 \Rightarrow a = 0 \end{eqnarray*}$

Nun hab ich ein LGS mit b, c und d. Das Problem ist, das LGS scheint für beliebige Zahlen aus Q zu gelten:

a = 0:

$\begin{eqnarray*} -2b + c - d = 0 \end{eqnarray*}$ (I)

$\begin{eqnarray*} b + 2c + 3d = 0 \end{eqnarray*}$ (II)

$\begin{eqnarray*} 3c + 3d = 0 \end{eqnarray*}$

Egal, wie ich es drehe und wende, es gilt immer: $\begin{eqnarray*} b = c = -d \end{eqnarray*}$
Klar, kann man z.B. b gleich Null setzen, dann wären auch die anderen Parameter Null, und die Vektorfamilie wäre "linear unabhängig" in dem Sinne.
Doch setze ich für $\begin{eqnarray*} b = 1, c = 1, d = -1 \end{eqnarray*}$ ein, so gilt:

$\begin{eqnarray*} (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = 0 \Leftrightarrow -2 + 2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) = 0 \Leftrightarrow 3 - 3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) = 0 \Leftrightarrow 3 - 3 = 0 \end{eqnarray*}$

Das LGS ist zwar erfüllt, jedoch kann diese Vektorenfamilie auch linear abhängig sein.
Aber wie bekomme ich dann eine maximale linear unabhängige Teilfamilie?

Liebe Grüße,

D.

10.01.2010, 22:45

IfindU

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Da Kiste wohl offline ist.

Indem du das so lange die für die Abhängigkeit verantwortlichen rausschmeißt. Kiste hat es zwar schon gesagt, aber nochmal etwas anders.
Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. im Span der Basis muss der komplette, aufgespannte Raum sein, hier R^4.
Erwähne ich an der Stelle nochmal extra.

10.01.2010, 23:11

Nuit Blanche

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OK, das mit der Basis habe ich gecheckt. In der Aufgabe war ja von uns verlangt, dass wir, wenn die gegebenen Vektorenfamilien nicht linear unabhängig sind, dass wir dann linear abhängige Teilfamilien konstruieren sollen. Du meinst, dass es bei a) auch mit weniger als 4 Vektoren klappen könnte?

11.01.2010, 13:28

IfindU

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Wenn ihr nicht linear unabhängige Vektorfamilien bekommt und daraus lineare abhängige Teilfamilien konstruieren sollt, habt ihr nicht wirklich viel zu tun Augenzwinkern

Wenn die unabhängige Teilfamilien meinst, dann musst du solange welche rauswerfen, bis du Unabhängigkeit erreicht hast. Wenn du als Ziel hast daraus eine Basis zu basteln, weißt du jetzt schon, dass es keine werden kann, da du genau 4 linearunabhänige Vektoren für eine Basis brauchst.

11.01.2010, 20:36

Nuit Blanche

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Wenn das so ist. smile

Also ich habe dann $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ rausgeworfen und ein LGS mit $\begin{eqnarray*} v_2, v_3, v_4 \end{eqnarray*}$ aufgestellt. Mit diesen drei Vektoren lässt sich eindeutig eine linear unabhängige Teilfamilie konstruieren. Ich wär vorher nicht drauf gekommen, das so zu machen, dankeschön. ^^

Aber zu Aufgabe b) wollte ich wissen, wenn ich diese Polynome ähnlich wie bei a) mit Parameter versehe und sie gleich Null setze:

$\begin{eqnarray*} a \cdot (x^3 - x) + b \cdot (x^3 - 3x^2 + 2x) + c \cdot (x^3 - x^2 + 2x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (a + b + c) x^3 + (-3b - c)x^2 + (-a + 2b + 2c)x = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich: $\begin{eqnarray*} a = b = c = 0 \end{eqnarray*}$ => linear unabhängig

Aber dennoch bilden die drei Vektoren von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \left[X\right]_4 \end{eqnarray*}$ keine Basis, oder? Denn könnte man dies so begründen, dass die Basis $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \left[X\right]_4 \end{eqnarray*}$ in der Regel die Form $\begin{eqnarray*} 1, x, x^2, x^3, x^4 \end{eqnarray*}$ besitzt (also 4. Grades ist) und die Vektoren, die allesamt 3. Grades sind, $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \left[X\right]_4 \end{eqnarray*}$ nicht aufspannen können?

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