Dim und die Basis des Nullraums bestimmen

10.01.2010, 22:44

FrohesNeuesJahr2010

Dim und die Basis des Nullraums bestimmen

Hi,
muss bei der Aufgabe die Dimension und die Basis des Nullraums bestimmen.

Hab die Matrix schon umgewandelt und die Nullen dran gehangen um die Basis des Nullraums zu bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 4 & 2 & 1 & |0 \\ 1 & -2 & -1 & 1 & |0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & -0,5 & |0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & |0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich irgendwie nicht weiter.

Ich dachte erst:

x4=0
x1= 2*(x2)+(x3)
x2= 0,5*(x1)-0,5*(x3)
x3= (x1)-2*(x2)

Dann x1=r , x2=t und x3=s ..... r,s,t e R

=>

N(A)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\x4 \end{pmatrix}= t*\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\0 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} 1 \\ -0,5 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 0 \\ 0,5 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Basis von N(A) = span( $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ -0,5 \\ 0 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0,5 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )

Aber irgendwie kann das doch nicht sein.

Rang von A = 2

=> dim Kern= Spalten von A -Rang(A)
= 4 - 2 =2

Also müsste die Basis von N(A) doch nur aus zwei Vektoren bestehen, oder?

Danke für die Hilfe!

10.01.2010, 23:47

El_Snyder

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Addier die Hälfte der 2. Zeile deiner Matrix noch zur 1., dann sollte es passen

11.01.2010, 00:05

FrohesNeuesJahr2010

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Sry vielleicht ist das auch schon zu spät, aber kann dir gerade nicht so ganz folgen....
Wäre nett, wenn du das noch einmal etwas umschreiben könntest.

Danke schon einmal!

11.01.2010, 00:26

El_Snyder

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Da gibts nicht viel zu verstehn ^^

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & -0,5 & |0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & |0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & |0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & |0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du die Lösungen sogar ablesen Augenzwinkern

11.01.2010, 09:06

FrohesNeuesJahr2010

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Jo, dass dachte ich mir schon gestern bei meiner Antwort oben. So komme ich ja aufs Ergebnis. Aber das kann doch nicht richtig sein.

11.01.2010, 11:17

klarsoweit

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RE: Dim und die Basis des Nullraums bestimmen

Zitat:

Original von FrohesNeuesJahr2010
Rang von A = 2

=> dim Kern= Spalten von A -Rang(A)
= 4 - 2 =2

Also müsste die Basis von N(A) doch nur aus zwei Vektoren bestehen, oder?

Das ist das einzige, was stimmt. Deine gefundenen Lösungen sind falsch, wie du leicht merkst, wenn du diese mal mit der Matrix multiplizierst. Das eigentliche Thema lautet aber:

Wie bestimmt man bei einem LGS die frei wählbaren Variablen?

Etwas leichter tut man sich mit der Beantwortung dieser Frage, wenn man zunächst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmt.

Befindet sich die Matrix eines LGS in Zeilenstufenform, dann gilt:

Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums des homogenen GLS setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null.
Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig.

11.01.2010, 13:36

FrohesNeuesJahr2010

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Das heißt x1 ist nicht frei wählbar und x4 auch nicht?

Also kann ich entweder x2 oder x3 gleich 1 setzten? Aber wie muss ich weiter vorgehen?

Ich kann ja nicht sagen x2=1 => x1=2+x3
x2=1
x3=x1-2
x4=0

Danke!

11.01.2010, 13:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von FrohesNeuesJahr2010
Das heißt x1 ist nicht frei wählbar und x4 auch nicht?

Richtig.

Zitat:

Original von FrohesNeuesJahr2010
Also kann ich entweder x2 oder x3 gleich 1 setzten? Aber wie muss ich weiter vorgehen?

Wenn du x2 gleich 1 setzst, dann setzst du x3 = 0. Dann das ganze umgekehrt. Daraus kannst du jeweils x1 und x4 bestimmen.

12.01.2010, 11:53

FrohesNeuesJahr2010

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Das heißt: Basis von N(A)= span( $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )?

Danke!

12.01.2010, 12:10

klarsoweit

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Ja.

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