Elemente, Nullteiler, Einheiten, Ideale

11.01.2010, 19:07

Alge-Bra

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Elemente, Nullteiler, Einheiten, Ideale

Hallo, folgende Aufgabe bereitet mir kopfschmerzen...

"Man gebe alle Elemente, Nullteiler, Einheiten, Ideale von $\begin{eqnarray*} R=\mathbb Z_2[x]/x³+[1] \end{eqnarray*}$ an."

So, mit den Elementen komme ich noch zurecht die sind ja:
$\begin{eqnarray*} R=\{0; 1; x; x+1; x²; x²+1; x²+x; x²+x+1\} \end{eqnarray*}$ , also 8 Elemente.

Frage: Kann man wissen, dass es 8 Elemente sein müssen wegen 2³=8, also die 2 von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2[x] \end{eqnarray*}$ und die ³ als Grad des Polynoms x³+1? Oder war es bei den Aufgaben die ich bislang gerechnet habe zufall, dass es immer gestimmt hat?

Die Einheiten lauten ja: $\begin{eqnarray*} R^*=\{1, x, x²\} \end{eqnarray*}$ und die Nullteiler = $\begin{eqnarray*} \{x+1; x²+x+1; x²+1; x²+x\} \end{eqnarray*}$

Die Definition von Einheit und Nullteiler ist mir formal klar und logisch, aber wie berechne ich diese bei dem Beispiel? Gibt es einen Trick oder eine Methode, damit man sie "sehen" kann, ohne jedes Element mit dem anderen zu multiplizieren?

Ich hoffe jemand kann mir helfen :<

11.01.2010, 19:21

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \{1,x,x^2\} \end{eqnarray*}$ ist eine Basis von $\begin{eqnarray*} R=\mathbb Z_2[x]/(x^3+1) \end{eqnarray*}$ , deshalb müssen das 2^3=8 Elemente sein.
Um zu sehen, wie multipliziert wird, musst du nur die Multiplikationstabelle aufstellen (7*7=49 Elemente).
Multiplikation mit 1 ist auch nicht so aufregend, also nur 36 interessante Einträge.

11.01.2010, 19:36

Alge-Bra

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Hmm, ok, dann würde ich noch gerne etwas zur Multiplikation fragen....

Ein paar Beispiele: (bitte gucken, on es richtig ist)

$\begin{eqnarray*} x \cdot x²=x³ \end{eqnarray*}$ und nun rechne ich: (x³+1)-x³=1, also x*x²=1

$\begin{eqnarray*} x \cdot (x²+1) = x³+x = x+1 \end{eqnarray*}$

Und gilt in der Multiplikationstafel die "sudokuregel"? Also darf in jeder Zeile/spalte jedes Element nur 1 mal auftauchen?

11.01.2010, 19:42

Elvis

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Beide Rechnungen okay wegen $\begin{eqnarray*} x^3+1=0\Rightarrow x^3=1 \end{eqnarray*}$

Multiplikation liefert im Ring KEINE Gruppe, daher keine Cayley-Tafel, d.h. Elemente dürfen mehrfach auftreten (glaube ich, bin aber nicht sicher, und gerechnet hab ich's auch nicht, darfst du machen).

11.01.2010, 23:13

Mystic

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@Alge-Bra

Bist du dir sicher, dass ihr die 0 als Nullteiler ausgeschlossen habt? Ich weiss, dass dies manche Leute so definieren, habe aber nie verstanden warum... Jedenfalls zieht das einen Rattenschwanz von Ausnahmen nach sich...

Übrigens gibt es schon ein paar Gesetzmäßigkeiten, was Einheiten und Nullteiler betrifft... Z.B. sind Teiler von Einheiten wieder Einheiten,d.h., mit $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ sind automatisch auch $\begin{eqnarray*} 1,x,x^2 \end{eqnarray*}$ Einheiten, Vielfache von Nullteilern sind wieder Nullteiler ...Ok, sofern sind nicht 0 sind, wenn die 0 kein Nullteiler ist (da sind sie schon, die verdammten Ausnahmen!)...

12.01.2010, 21:24

Alge-Bra

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Zitat:

Original von Elvis
Beide Rechnungen okay wegen $\begin{eqnarray*} x^3+1=0\Rightarrow x^3=1 \end{eqnarray*}$

Das gilt weil wenn x³=1, dann 1+1=2 (mod 2)= 0, ja?

@ Mystic:
Ja, bei uns wurden für Nullteiler a und b ungleich Null vorausgesetzt.

Ich bastel grad an der Multiplikationstafel rum... nun bin ich grad bei: x²*(x²+1)= $\begin{eqnarray*} x^4+x² \end{eqnarray*}$ , nun hab ich irgendwie keine Ahnung was ich mit der x hoch 4 anfangen soll....

Gibt es für diese Rechnungen irgendwie ein allgemeingültiges Schema?

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12.01.2010, 21:43

Mystic

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Zitat:

Original von Alge-Bra
@ Mystic:
Ja, bei uns wurden für Nullteiler a und b ungleich Null vorausgesetzt.

Das hab ich befürchtet... Glaub mir, ein echter Profi würde das nie und nimmer machen...

Zitat:

Original von Alge-Bra
Ich bastel grad an der Multiplikationstafel rum... nun bin ich grad bei: x²*(x²+1)= $\begin{eqnarray*} x^4+x² \end{eqnarray*}$ , nun hab ich irgendwie keine Ahnung was ich mit der x hoch 4 anfangen soll....
Gibt es für diese Rechnungen irgendwie ein allgemeingültiges Schema?

Nun

$\begin{eqnarray*} x^3=1, \ x^4=x, \ x^5 =x^2, \ x^6 =1, \ldots \end{eqnarray*}$

das ist das allgemeine Schema, falls du das noch nicht durchschaut hast... Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.01.2010, 21:53

Alge-Bra

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Achso, danke! Das geht dann so, weil 1,x,x² Basis sind, oder?

Ob mein Algebra Professor kein richtiger Profi ist weiss ich nicht^^
Aber für einen Nullteiler gilt doch, a*b=0, wenn man die Null zulässt, dann wären doch im Prinzip alle Elemente Nullteiler verwirrt

verwirrt

12.01.2010, 22:17

Mystic

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Zitat:

Original von Alge-Bra
Achso, danke! Das geht dann so, weil 1,x,x² Basis sind, oder?

Au weia... Nein, das gilt, weil $\begin{eqnarray*} x^3 =1 \end{eqnarray*}$ ist... Das ist sowas wie ein glücklicher Zufall, der nur hier alles sehr viel einfacher macht...

Zitat:

Original von Alge-Bra
Ob mein Algebra Professor kein richtiger Profi ist weiss ich nicht^^
Aber für einen Nullteiler gilt doch, a*b=0, wenn man die Null zulässt, dann wären doch im Prinzip alle Elemente Nullteiler verwirrt

verwirrt

Nein, a ist ein Nullteiler in einem Ring R, wenn es ein b in R\{0} gibt, sodass ab=0 oder ba=0 ist... Es wäre also keineswegs jedes Element Nullteiler, nur die 0 wäre nach dieser Definition stets Nullteiler...

Wie ich schon sagte, wenn man die 0 als Nullteiler ausschließt, werden viele Sätze der Ringtheorie sehr häßlich, weil dann die 0 sehr oft "aus der Reihe tanzt" (und zwar noch öfter, als sie's ohnehin schon macht!) ... Das merkt man aber erst, wenn man tiefer in die Ringtheorie eindringt, speziell in der Idealtheorie dann... Also das mit "Profi" oben war cum grano salis und nur in Bezug auf die Rintheorie gemeint... Allein die Algebra ist so riesengroß, dass man nur auf einem relativ kleinen Teilgebiet wirklich ein "Profi" sein kann, vom Gesamtgebiet der Mathematik ganz zu schweigen...

12.01.2010, 22:24

Alge-Bra

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Zitat:

Original von Mystic

$\begin{eqnarray*} x^3=1, \ x^4=x, \ x^5 =x^2, \ x^6 =1, \ldots \end{eqnarray*}$

das ist das allgemeine Schema, falls du das noch nicht durchschaut hast... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ok, das war mir hier klargeworden, aber hab grad noch andere Aufgaben angeguckt, z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2[x]/(x²+x+1) \end{eqnarray*}$ , dann müsste nach dem Schema doch x²=1 sein, aber das passt irgendwie nicht...

Ebenso bei $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3[x]/(x²+[1]) \end{eqnarray*}$ haut das net hin traurig

traurig

12.01.2010, 22:48

Mystic

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Richtig, ich sagt ja auch oben sehr deutlich, das dies hier ein glücklicher Zufall ist...

Aber in dem Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2[x]/(x^2+x+1) \end{eqnarray*}$ gilt ja auch

$\begin{eqnarray*} x^2 = x+1, x^3 = 1, x^4=x, \ldots \end{eqnarray*}$

und auch in dem Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1) \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} x^2=2, x^3=2x, x^4=1, x^5 =x, \ldots \end{eqnarray*}$

wenn ich mich jetzt nicht verrechnet habe, du solltest also nicht so "undankbar" sein ... Big Laugh

Big Laugh

12.01.2010, 22:59

Alge-Bra

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Sorry, wenn ich nochmal dumm nachfragen muss...

wie das x² jeweils zustande kommt habe ich gecheckt :p dafür ist mir nicht klar wie man dann auf die x³ und so kommt. Könntest du das evtl. nochmal kurz erklären wie/was mna da rechnen muss?

12.01.2010, 23:09

Mystic

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Im ersten Ring ist

$\begin{eqnarray*} x^2=x+1, \ x^3=x(x+1) =x^2+x =(x+1)+x=1 \end{eqnarray*}$

Irgendwo ist da bei dir eine mentale Blockade und ich weiß nicht, wie ich die auflösen kann, denn eigentlich ist ja alles trivial... Du musst dir zwei Identitäten fest einprägen, nämlich

$\begin{eqnarray*} x^2 = x+1 \text{ und } 2=0 \end{eqnarray*}$

alles andere ergibt sich daraus, indem man sie immer und immer wieder anwendet...

12.01.2010, 23:20

Alge-Bra

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Danke sehr, nun hab ichs endlich gerafft, jetzt klappen alle Rechnungen^^

13.01.2010, 16:14

Alge-Bra

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Hi, habe jetzt due Multiplikationstabelle fertig gestellt. Wie man die Einheuten und Nullteiler nun abliest ist mit klar, aber wie sieht es mit den Idealen aus? Kann ich die mittels Tabelle auch bestimmen?

Stimmt es dass auf der Hauptdiagonalen jedes Element genau 1x steht, odder ist es hier Zufall?

13.01.2010, 18:28

Elvis

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Wegen Idealen würde ich erst mal nach Hauptidealen suchen. Und dann soviel Theorie lernen, dass Multiplikationstafeln überflüssig werden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Diagonale enthält alle Elemente genau dann, wenn die Abbildung $\begin{eqnarray*} q: \mathbb R^* \to \mathbb R^*,r\to r^2 \end{eqnarray*}$ surjektiv ist.

Zitat (Übungsaufgabe): Die Zweifachen in einer abelschen Gruppe (G,+) , die Quadrate in einer abelschen Gruppe (G, ·) .
Sei (G,+) eine abelsche Gruppe, additiv geschrieben. Wir betrachten 2G :={2g | g aus G} (dabei ist natürlich 2g = g + g ), also die Menge der Zweifachen in G.
Zeige:
(1) Es ist 2G immer eine Untergruppe von G.
(2) Ist G endlich, und ist |G| ungerade, so ist 2G = G.
(3) Ist G zyklisch, und ist |G| gerade, so ist |2G| = 1/2 |G|.
(4) Sind (G,+), (H,+) abelsche Gruppen, so ist 2(G × H) = 2G × 2H.
Zusatz. Nun sei (G, ·) eine multiplikativ geschriebene abelsche Gruppe. Man formuliere die entsprechenden Aussagen (1) - (4). Hier betrachten wir also G^2 ={g^2 | g aus G} - die Menge der Quadratzahlen (oder einfach Quadrate) in G.

13.01.2010, 22:13

Mystic

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Zitat:

Original von Alge-Bra
Hi, habe jetzt due Multiplikationstabelle fertig gestellt. Wie man die Einheuten und Nullteiler nun abliest ist mit klar, aber wie sieht es mit den Idealen aus? Kann ich die mittels Tabelle auch bestimmen?

Stimmt es dass auf der Hauptdiagonalen jedes Element genau 1x steht, odder ist es hier Zufall?

Von der Multiplikationstabelle alle Einträge unterhalb der Diagonale wegzulassen, war eine ganz schlechte Idee... Welcher Teufel hat dich da geritten? verwirrt

verwirrt

Hättest das nicht gemacht, so wären die Teilmengen bestehend aus den Zeilenelementen (bzw. Spalenelementen) gerade die Hauptideale des Rings gewesen... Soweit es Ideale gibt, die nicht Hauptidale sind, kann man dann versuchen sie als minimale Summe von Hauptidealen dazustellen... Dass übrigens in der Hauptdialgonalen eine Permutation der Ringelemente steht, würde ich jetzt ad hoc als Zufall einschätzen, soweit in der Mathematik überhaupt irgendwas zufällig sein kann... Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.01.2010, 19:56

Alge-Bra

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Ok, habe es jetzt nochmal mit allen Elemente gemacht.

Kann man es nun so machen:
Alle Spalten, welche eine Einheit enthalten, sind schonmal keine Ideale. Bleiben (x+1), (x²+1), (x²+x) und (x²+x+1) über. Man sieht: (x+1)=(x²+1)=(x²+x), denn alle Spalten enthalten dieselben Elemente. (x+1) ist das kleinste Polynom davon, d.h. (x+1) ist das Ideal. (x²+x+1) ist ebenfalls ein Ideal.

Es sind sogar Primideale, oder?

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