Bedingter Erwartungswert

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App19 Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingter Erwartungswert
Ich habe ein kleines Problem mit einer (wahrscheinlich) sehr einfachen Aufgabe. Ich habe folgende gemeinsame Dichtefunktion

für x,y>0

und soll nun den bedingten Erwartungswert E[X¦Y=y] berechnen. Kann mir hier jemand helfen? Ich komme da einfach nicht damit zu recht...

Gruss
Stata
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingter Erwartungswert
Zur Berechnung dieses Erwartungswertes braucht man (wie immer) die Dichtefunktion,
aber nicht die gemeinsame von X und Y, sondern jene der Zufallsvariablen X|Y=y0. (Beachte: festes y0)
Letztere ist (im wesentlichen) f(x,y0), muss aber noch mit einem Faktor normiert werden,
sodass das Integral über x dann 1 gibt.
App19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingter Erwartungswert
Salut wisili

Darin liegt bei mir etwas das Problem. Ich weiss zwar, dass ich dafür
also eigentlich (X¦Y) (latex mag wohl meine Schreibweise nicht...) benötige. Diese erhalte ich wiederum doch durch
.
Aber bei der Integration von komme ich einfach nicht weiter. Weder partielle Integration noch sonst etwas hilft mir weiter... unglücklich . Und mehr als mathematische Kenntnisse auf Ökonometrieniveau haben ich leider nicht unglücklich unglücklich
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingter Erwartungswert
für x, y > 0

y sei jetzt fest. Die beiden Potenzen kann man zusammenfassen:

für x, y > 0

Den ersten Faktor a könnte man fortlassen. Partielle Integration funktioniert.
Beachte noch, dass durchs Integral von dividiert wird, nicht wie du schreibst:
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich weiß nicht wo ihr eure Symbolik herhabt, aber ich finde das Durcheinander von Zufallsgrößen (Großbuchstaben) und reellen Zahlen (Kleinbuchstaben) lustig verteilt auf Indizes sowie Funktionsargumente - und zwischendrin gewechselt! - schon ziemlich bedenklich und dem Verständnis auch nicht gerade förderlich. Ich kenne es so:

... gemeinsame Dichte von und

... Randverteilungsdichte bzgl. , berechenbar über

... bedingte Dichte von an der Stelle , unter der Bedingung .

Ok, bei letzterem kann man sich streiten, ob man es nicht doch besser schreibt. Wie auch immer, berechnet wird es über , aber soweit ist euch das ja schon klar.


Wollte euch ansonsten nicht weiter stören, aber fand diesen Einwurf durchaus angebracht. Augenzwinkern
App19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingter Erwartungswert
Ich will ja wirklich nicht rechthaberisch wirken, aber es muss doch gelten:
(mit x¦y statt x y) Oder?

Nevertheless: Es gilt dann . Ich gehe davon aus, dass und .

Jetzt wird es irgendwie unangenehm: Es gilt doch dann, dass gelten muss:
. Das "letzte Integral" ist dann 0. Aber was ist mit dem ersten Term?
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei Fehler:

1. Richtig ausgeführt lautet die partielle Integration



2. Das Integral rechts ist keineswegs gleich Null.

Was das Berechnen des Ausdrucks in eckigen Klammern angeht: Der ist gleich Null.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Wir redeten aneinander vorbei, weil ich mich bei den Symbolen nicht auskenne, sie einfach von App19 übernommen habe. Wie unglücklich die «richtigen» Symbole sind, zeigt

Das Symbol des Integranden weist die Integrationsvariable gar nicht aus.
Aber ich glaube euch, dass es so gängig ist.
App19 Auf diesen Beitrag antworten »

Verflucht... das war jetzt wirklich peinlich... daher besten Dank, dass ihr mir auf die Sprünge geholfen habt.

Ich integriere also noch einmal und erhalte dann


So, dann probiere ich einmal weiter, wenn ich zu Hause angekommen bin. Ich halte Euch gerne auf den aktuellen Stand Augenzwinkern . Nochmals herzlichen Dank für Eure Hilfe und geniesst erst einmal den Abend.

Zur Symbolik: Arthur, Du hast natürlich absolut recht. Die korrekte Notation ist wohl nicht zu vernachlässigen. Zu meiner Entlastung: Ich bin noch im Büro und bin da nicht so "frei" wie zu Hause (es muss meistens etwas schneller gehen... ;-)). Daher Asche auf mein Haupt... Hammer

Grüsse aus der Schweiz
App19 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist eine Zeit her und am Wochenende hat man bekanntlich für die eine oder andere Aufgabe noch Zeit. Und ich muss gestehen, diese Aufgabe bringt mich zum Verzweifeln (die 10 Punkte Aufgaben waren nicht das Problem, aber doofe 4)...

Also wieder zum Thema:
Ich hatte


Die Dichte


Seid Ihr soweit einverstanden. Nun, dann noch den bedingten Erwartungswert
. Dieser ist nun


Dan gilt wie oben

und mittels partieller Integration folgt:


Der erste Term ist wieder Null (denke ich, den Beweis habe ich allerdings nicht), der zweite Term wird nochmals integriert. Das komische ist letztendlich, dass

ist und damit
ist. Irgendwo muss da wohl ein Fehler sein... aber wo?
App19 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, einen Fehler habe ich gefunden. Jetzt schaut es besser aus. Ich komme auf .
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