Randwertaufgabe gewöhnlicher DGL

12.01.2010, 15:17	fnsr21	Auf diesen Beitrag antworten »
Randwertaufgabe gewöhnlicher DGL Hallo! Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter, ich finde leider auch kein ähnliches Beispiel in den Lehrbüchern... Folgende Aufgabe: Für festes $\begin{eqnarray} k\in\{0,1\} \end{eqnarray}$ betrachten wir die Randwertaufgabe: $\begin{eqnarray} -y''(x) + [y(x)]^{2k+1} = f(x) \quad \forall x\in(0,1), \quad y(0)=y(1)=0 \end{eqnarray}$ Als Diskretisierung auf dem äquidistanten Gitter der Schrittweite $\begin{eqnarray} h=1/N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_i=ih \end{eqnarray}$ , soll man das Schema $\begin{eqnarray} -\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}+[y_i]^{2k+1} = f(x_i)\quad \forall i=1,2,\cdots, N-1, \quad y_0=y_N=0 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} y_i\approx y(x_i) \end{eqnarray}$ , zu benutzen. Eliminiert man $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_N \end{eqnarray}$ , dann entsteht ein GLS mit (N-1) Gleichungen für die (N-1) Unbekannten $\begin{eqnarray} y_1,y_2,\cdots,y_{N-1}. \end{eqnarray}$ Zu benutzen ist weiterhin: $\begin{eqnarray} \begin{matrix} \text{erste Gleichung:} & -\dfrac{y_2-2y_1}{h^2} + [y_1]^{2k+1} & = f(x_1) \\ \text{i-te Gleichung für } 1 < i < N-1 & -\dfrac{y_{i+1}-2y_i-y_{i-1}}{h^2} + [y_i]^{2k+1} &= f(x_i) \\ \text{letzte Gleichung:} & -\dfrac{-2y_{N-1}-y_{N-2}}{h^2} + [y_{N-1}]^{2k+1} &=f(x_{N-1}) \end{matrix} \end{eqnarray}$ Nun soll das für $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ entstehende nichtlineare GLS per Newton-Verfahren gelöst werden. Anzugeben ist dabei nur der $\begin{eqnarray} y^{(l+1)} \end{eqnarray}$ -te Schritt für $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N=4 \end{eqnarray}$ Aufstellen der Gleichungen ist kein Problem, nur fehlt mir absolut der Ansatz, wie ich die Aufgabe ohne konkrete Angabe für die Funktion $\begin{eqnarray} f(x_i) \end{eqnarray}$ angehen soll...
12.01.2010, 17:37	fnsr21	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine Anmerkung: Das eben Beschriebene ist Teil (B). In Teil (A) der Aufgabe sind Funktionen $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ zu finden, die die Gleichung für $\begin{eqnarray} y(x) = \sin\,\pi x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y(x) = x(1-x) \end{eqnarray}$ erfüllen. Da sind wahrscheinlich diese zu verwenden? Sonst ergibt das ganz doch keinen Sinn, man müsste ja auf Fourierreihen etc ausweichen, das haben wir alles noch nicht eingeführt...

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