Zwischenwertsatz anwenden

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enotsedalb Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenwertsatz anwenden
Guten Abend!

Folgendes Problem:

Zeige, dass es für jede stetige Funktion f : [0,1] --> [0,1] ein mit gibt.

Ist ja eigentlich ganz einfach, denn laut Zwischenwertsatz nimmt eine auf [a,b] stetige Funktion f jede reele Zahl r zwischen f(a) und f(b) als Funktionswert an. In diesem Fall also den Funktionswert einer reellen Zahl zwischen f(0) und f(1), also eben einen Wert aus ...

Mein Problem bei der Sache (wie immer bei solchen Dingen), wie kann ich sowas mathematisch zeigen? (Mein verwirrender Text wird nicht reichen nehm ich an?)

Als Hinweis zu der Aufgabe sollte man die Funktion f(x) - x betrachten, was ja in diesem Fall 0 wäre. Hilft mir aber irgendwie auch nicht weiter.

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen, Vielen Danke schonmal!
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwischenwertsatz anwenden
Zitat:
Original von enotsedalb
Als Hinweis zu der Aufgabe sollte man die Funktion f(x) - x betrachten, was ja in diesem Fall 0 wäre.


Den Schluss versteh ich nicht. Für z.B. ist .

Allerdings weiß ich warum die wollen das du betrachtest. Überleg dir warum es gut für dich wäre wenn eine Nullstelle hätte...
enotsedalb Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, habe mich falsch ausgedrückt, was im Fall von 0 wäre meinte ich.

Also wenn , dann ist doch die Bedingung aus der Aufgabenstellung erfüllt. Leider seh ich noch nicht wie mir das weiter helfen soll.
enotsedalb Auf diesen Beitrag antworten »

Wieder falsch ausgedrückt... :

Also gilt nur für (Wegen )
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Der Zusammenhang scheint dir klar zu sein, aber du siehtst es aus der falschen Perspektive.

Wenn eine Nullstelle hat, so hat einen Fixpunkt und du bist fertig.

Du musst also nur zeigen, dass eine Nullstelle besitzt. Betrachte also und .
enotsedalb Auf diesen Beitrag antworten »

Also so etwa:


zu Zeigen:
Bedingung:
Daraus folgt:

Reicht das schon? Ich verstehe nicht ganz wie ich und betrachten kann. Wäre das dann bzw. ?
 
 
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. ist keine Bedingung, denn das musst du zeigen.

Das Argument geht so:

hat eine Nullstelle
q.e.d.

Du musst also zeigen, dass g eine Nullstelle hat, darfst aber dabei nicht verwenden, denn du willst die erste Tatsache ja zeigen um daraus dann ebendas zu schließen.

Zitat:
Ich verstehe nicht ganz wie ich und betrachten kann.


Welche Werte kann denn etwa annehmen?
enotsedalb Auf diesen Beitrag antworten »

mhhh...
nimmt die Werte von an? (wegen
Also was aus dem Invervall [0,1]?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

richtig. und g(1)?
enotsedalb Auf diesen Beitrag antworten »

Also ? ich bin verwirrt...
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von enotsedalb
Also ? ich bin verwirrt...


Ich auch. Was soll das heißen?
enotsedalb Auf diesen Beitrag antworten »

also nimmt dann die Werte von an, also aus dem Intervall [1,2]...
Also ist ?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von enotsedalb
also nimmt dann die Werte von an


Ne. Einfach das Vorzeichen von x umdrehen ist nicht erlaubt.
enotsedalb Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja, wie dumm, also liegt im Intervall [-1,0]
und damit geht von [-1,1] und das beweist
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von enotsedalb
damit geht von [-1,1]


Was heißt das?
enotsedalb Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, bin noch nicht so fit mit den verschiedenen Zeichen.

Was ich sagen wollte:
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

k, aber daraus folgt noch nicht sofort, dass g eine Nullstelle hat.

Erinnert man sich allerdings in welchem Rahmen diese Aufgabe gestellt wurde sollte es klar werden was man braucht.
enotsedalb Auf diesen Beitrag antworten »

Den Zwischenwertsatz!
Weil stetig ist, ist auch stetig.
Also ist die Funktion g auf [-1,1] stetig und nimmt jede reelle Zahl zwischen und als Funktionswert an. Also gibt es ein x mit
enotsedalb Auf diesen Beitrag antworten »

bzw. es gibt ein mit
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Der Zwischenwertsatz ist richtig. Allerdings ist g auf definiert (und dort auch stetig.)
enotsedalb Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, alles klar!

Vielen, vielen Dank, hast mir echt super geholfen Freude Prost
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