Rang der Adjunktenmatrix

12.01.2010, 20:49

Bullet1000

Rang der Adjunktenmatrix

Hallo, ich sitze derzeit an einer Aufgabe und beiße mir daran die Zähne aus:

Zeigen Sie, dass die Matrix der Adjunkten einer quadratischen (nxn)-Matrix nur den Ran 0,1 oder n haben kann

Ich bin am Überlegen, wie ich das zeigen kann.
Wie ein adjunktes Element gebildet wird, ist mir völlig klar.
Aber wie sol ich den Rang, der daraus entstehenden Matrix bestimmen?

Hab mir überlegt, dass es evtl mit diesem Determinantensatz gehen könnte.
Also Rang A= maximale Reihenzahl einer quadr. Untermatrix mit Rang ungleich 0

13.01.2010, 00:30

Bullet1000

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Hat niemand eine Idee oder eine Tipp für mich?

Also ich hab mir mal ein ganz einfaches Beispiel genommen.

Sei etwa $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ist doch $\begin{eqnarray*} A_{ad}=\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Rang dieser Matrix ist natürlich 2, wenn Zeilen bzw. Spaltenvektoren linear unabhängig sind oder er ist 1, falls ein Vektor vom anderen abhängt.

Der Rang=0 wurde dann wahrscheinlich einzig und allein der Nullmatrix überlassen.

13.01.2010, 17:15

Reksilat

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Rang Null ist klar, das kann nur die Nullmatrix sein. Freude

Für die anderen beiden Fälle hättest Du nach dem kleinen Beispiel aber auch schon mal eine allgemeine Vermutung hinbekommen können. Augenzwinkern

Was habt Ihr denn sonst noch zur Adjunkten gemacht? Irgendwelche Sätze, Lemmata?

Ansonsten empfehle ich dir mal anzuschauen, was rauskommt, wenn Du die erste Zeile von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit der ersten Spalte Deiner Adjunkten multiplizierst. (Stichwort: Entwicklungssatz)
Und was kommt dagegen raus, wenn Du die zweite Zeile von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit der ersten Spalte der Adjunkten multiplizierst?

Tipp: für n=3 kannst Du das ganze auch bei http://de.wikipedia.org/wiki/Adjunkte ganz gut noch mal anschauen.

Gruß,
Reksilat.

13.01.2010, 18:35

Bullet1000

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Problem ist, dass wir das Thema Adjunkten vor Weihnachten hatten. Da musste ich mich leider mit einer Grippe rumschlagen.

Das einzige, was ich über Adjunkten weiß:

1. wie man sie berechnet
2.wie man mit ihnen das Inverse einer Matrix berechnet

Was also schon geklärt ist, wäre das Thema, wann der Rang=0 ist.

Nun zum Fall 1 oder n:

Wenn der Rang=1 ist bedeutet dies ja, dass für eine (n x n)-Matrix die Zeilen der dazugehörigen adjunkten Matrixalle linear abhängig sind.

Und wenn der Rang =n ist, dann sind alle Zeilen linear unabhängig.

Jetzt sind noch zwei Fragen zu klären:

1. Wie zeige ich das?
2. Wieso kann der Rann nicht jeden Wert zwischen 1 und n annehmen?

13.01.2010, 19:27

Reksilat

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Zitat:

Original von Reksilat
Ansonsten empfehle ich dir mal anzuschauen, was rauskommt, wenn Du die erste Zeile von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit der ersten Spalte Deiner Adjunkten multiplizierst. (Stichwort: Entwicklungssatz)
Und was kommt dagegen raus, wenn Du die zweite Zeile von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit der ersten Spalte der Adjunkten multiplizierst?

Schau Dir das noch mal an! Den zweiten Teil vielleicht auch erst am 3x3-Beispiel bei wiki. Muss weg.

Bis später,
Reksilat.

13.01.2010, 22:40

Bullet1000

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Ach so, ich glaub, ich weiß, worauf das jetzt hinaus läuft.

Wenn ich eine beliebige Matrix habe, kann ich durch das Produkt von Vertauschungs- und Additionsmatrizen meine Matrix so verändern, dass ihr Rang zwar derselbe bleibt, doch alle Elemente = 0 sind außer in der Hauptdiagonalen. Dort sind alle Elemente bis zu einem gewissen Punkt ungleich 0.

Wahrscheinlich muss ich diesen Satz auf mein Problem anwenden.

Also Wennd ich zu meinem Beispiel mit $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & b \\c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zurückgehe.

Dann ist $\begin{eqnarray*} A \cdot A_{ad}=ad-bc \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} Rang A = 2 \end{eqnarray*}$

13.01.2010, 22:59

Bullet1000

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Hab gerade mal weitergerechnet. Für die $\begin{eqnarray*} (3 x 3)-Matrix \end{eqnarray*}$ von Wikipedia kommt auch genau $\begin{eqnarray*} Rang A = n \end{eqnarray*}$ heraus.

Also scheint $\begin{eqnarray*} Rang A =1 \end{eqnarray*}$ für die Einheitsmatrix vergeben zu sein.

Aber wie zeige ich nun, dass für jede beliebeige $\begin{eqnarray*} (n x n)-Matrix \end{eqnarray*}$ der Rang der adjunkten Matrix gleich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist?

13.01.2010, 23:22

Bullet1000

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Habe gerade eine Idee.

Es gilt ja bekanntlich die Formel: $\begin{eqnarray*} A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\cdot adj(a) \end{eqnarray*}$

Also muss gelten $\begin{eqnarray*} A\cdot adj(a)=adj(A)\cdot A=det(A)\cdot E \end{eqnarray*}$

Na ja, sobald $\begin{eqnarray*} det A\neq0 \end{eqnarray*}$ gilt also $\begin{eqnarray*} rang(adj(A))=n \end{eqnarray*}$

14.01.2010, 18:29

Bullet1000

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reicht das so schon als Beweis?

14.01.2010, 18:46

Reksilat

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Wenn Ihr das bewiesen habt, dann ja. Schau Dir dann aber auch den beweis dazu an, da wird sich mit sicherheit ein Hinweis für nichtreguläre A finden lassen.

Sorry, bin z.Z. im Stress,
Reksilat.

15.01.2010, 12:00

Reksilat

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So, ich muss noch mal zurückrudern. traurig

Natürlich kann die Adjunkte auch Rang null haben, wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht die Nullmatrix ist. Man betrachte zum Beispiel eine $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix mit $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ , in der nur Einsen stehen. Dann ist auch jede Unterdeterminante null und somit bestehen die Einträge der Adjunkten auch nur aus Nullen.
Man sollte halt nicht urteilen, bevor man die Aufgabe nicht komplett überblickt hat. Sorry! Hammer

Die Lösung ist - wenn man denn weiß, was man eigentlich zeigen will - dann auch nicht mehr so schwierig:
Du hast doch Deine Gleichung $\begin{eqnarray*} A\cdot {\rm adj}(A)=\det(A)\cdot E \end{eqnarray*}$ . Wenn wir die Spalten von $\begin{eqnarray*} {\rm adj}(A) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \tilde{a}_i \end{eqnarray*}$ bezeichen, und dann die Gleichung für jede Spalte separat betrachten, dann erhalten wir $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Gleichungen:
$\begin{eqnarray*} A\cdot \tilde{a}_i=\det(A)e_{i} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1..n \end{eqnarray*}$

Betrachtest Du $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nun als lineare Abbildung von $\begin{eqnarray*} \langle \tilde{a}_1,...,\tilde{a}_n\rangle \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ , kannst Du auch den Dimensionssatz anwenden.

Gruß,
Reksilat.

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