Untervektorräume, Span

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13.01.2010, 00:11	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorräume, Span Hallo allerseits, ich habe es vor kurzem mit Thema Lineare Algebra angefangen und komme da leider noch nicht zu recht. Deshalb wollte ich fragen, ob mir jemand vielleicht bitte helfen könnte, wie ich zeigen kann, dass der folgende Ausdruck gilt: $\begin{eqnarray} span(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} ) ={ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R^3\|x+y+z = 0 } \end{eqnarray}$ Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann und vielen Dank voraus. Hinweis: auf der rechten Seite der Gleichung ist eine Menge, aber ich konnte leider im Formeleditor die Mengenklammer nicht mehr angeben. Grüße
13.01.2010, 01:56	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat den leider keiner eine Idee?
13.01.2010, 02:59	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist mitten in der Nacht, was erwartest du? Der Spann einer Menge von Vektoren ist ja gerade die Menge aller Linearkombinationen aus diesen Vektoren. Also: $\begin{eqnarray} span (v_1 \dots v_n) = \{ \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_n v_n \, \, \| \, \, \lambda_1 , \, ... \, , \lambda_n \in K \} \end{eqnarray}$ Jetzt nimm dir zwei Skalare $\begin{eqnarray} \lambda_1, \lambda_2 \in K \end{eqnarray}$ und schreib einfach mal eine beliebige Linearkombination aus deinen beiden Vektoren auf. Dann solltest du es sehen.
13.01.2010, 03:08	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Du meinst denke ich mal, dass die Gleichungen für beide Vektoren erfüllt sein müssen. $\begin{eqnarray} \lambda_1+(-\lambda_1 )=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_2 +(-\lambda_2 )=0 \end{eqnarray}$ Somit, wäre dann die Bedingung mit x+y+z=0 erfüllt Liege ich richtig? Eine kurze Bestätigung reicht schon. Grüße
13.01.2010, 03:14	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hä? Ich weiß jetzt nicht genau, was du sagen willst. Ich meinte, dass eine beliebige Linearkombination der beiden Vektoren von der Form sein soll, dass die Summe der drei Komponenten eben gerade Null ergibt. Nimm zwei Skalare (können hier ja reelle Zahlen sein, hatte ich in der Definition deiner Menge zunächst übersehen, sorry). Also seien $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} a \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ -a \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b \\ 0 \\ -b \end{pmatrix} = \, \, ? \end{eqnarray}$ Addieren und dann betrachte mal die Summe der drei Komponenten des resultierenden Vektors.
13.01.2010, 03:20	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Fü den resultierenden Vektor gilt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a +b \\ -a \\ -b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = 0 bzw. a +b -a -b = 0.
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13.01.2010, 03:24	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Vermutlich meinst du das richtige, aber so wie es da jetzt steht ist es Quark. Richtig, es ist (war ja auch nicht schwer) $\begin{eqnarray} a \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b \\ -a \\ -b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt schreib doch einfach mal ausführlich hin, was sich bei Addition der drei Komponenten dieses Vektors ergibt. Du musst es ja auch irgendwie formal sauber zu Papier bringen können.
13.01.2010, 03:28	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber kann ich denn nicht gleich so schreiben, damit es math. korrekt ist: a + b - a - b = 0.
13.01.2010, 03:34	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau das war eben noch sauber aufzuschreiben. Die Aufgabe ist ja auch eigentlich sehr banal. Also, für eine beliebige Linearkombination aus $\begin{eqnarray} span \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \right \} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} a \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b \\ -a \\ -b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a+b+(-a)+(-b) = 0 \end{eqnarray}$ Mehr war nicht zu zeigen. Vielleicht solltest du dir die in diesem Zusammenhang gefallenen Begriffe nochmal zu Gemüte führen, wenn du nicht so ganz verstanden hast, was jetzt eigentlich gemacht wurde.
13.01.2010, 03:47	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antworten. Ich habe sogar vollkommen und ganz verstanden. Könntest du mir noch einen letzten Gefallen tun und mir vielleicht sagen, wie ich die folgende Aufgabe zeigen kann? Zeige, dass die Menge $\begin{eqnarray} U = { f: \mathbb R -> \mathbb R \| f(x) = a sin(x + \alpha) mit a, \alpha \in \mathbb R} \end{eqnarray}$ einVektorraum ist, und dass die Funktionen sin(x) und cos(x) eine Basis von U bilden! Sorry, irgendwie bekomme ich die Mengenklammer nicht hin, da auf der rechten Seite der Gleichung eine Menge steht. Wir haben erst vor ein paar tagen mit LIneare Algebra angefangen und ich bin da noch nicht so drinne.#Hoffe, dass du mir helfen kannst. Grüße
13.01.2010, 15:07	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat sich alles erledigt. Danke nochmals. Grüße axiom

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