Transformationsmatrix 2er ähnlicher Matrizen

13.01.2010, 06:38

pizzaschachtel

Transformationsmatrix 2er ähnlicher Matrizen

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe.
[attach]12934[/attach]
Sagen wir die Matrizen seien von Links aufgezählt. Also 1,2,3,4 und Matrix 5.

Habe nun herausgefunden, dass Matrix 1,2 und Matrix 3,4 ähnlich sind.

Nun versuche ich bei 1,2 die Transformationsmatrix zu bestimmen. Dazu gehe ich wie folgt vor:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A'=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun stelle ich A' in Abhängigkeit von A da:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = -2*\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0*\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Das gleiche für die 2. Spalte der Matrix A'

--> B (Transformationsmatrix) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also wäre die Transformationsmatrix gleich B. Nun haben wir aber auch folgende Formel bekommen:
$\begin{eqnarray*} A'=B^{-1}AB \end{eqnarray*}$
Wenn ich dort nun alles einsetzte, komme ich auf $\begin{eqnarray*} A'=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aber das ist ja falsch.

Könntet ihr mir bitte zeigen, wo mein Fehler liegt?

Danke

13.01.2010, 07:35

jester.

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Dein A und A' unterscheiden sich doch nur durch die Reihenfolge der Diagonaleinträge. Also wähle doch, anstelle der Standardbasis $\begin{eqnarray*} B:=(e_1,e_2) \end{eqnarray*}$ eine Basis, in der die zwei Basisvektoren vertauscht sind, zB $\begin{eqnarray*} B':=(e_2,e_1) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

13.01.2010, 09:55

pizzaschachtel

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Stimmt, aber es müsste doch auch im Allgemeinen gehen, weil ja bei 3,4 das so einfach dann nicht mehr geht und deshalb wüsste ich gerne im Allgemeinen, wo mein Fehler liegt.

13.01.2010, 10:17

Mazze

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Es handelt sich hier doch um Ähnlichkeitstransformation, nicht um Basistransformation. Als Tip : Ähnliche Matrizen haben die selbe Diagonalform. Um die Ähnlichkeitstransformationsmatrizen also zu bekommen musst Du nur die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} A = ODO^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A' = PDP^{-1} \end{eqnarray*}$

geeignet umformen und einsetzen.

13.01.2010, 10:20

pizzaschachtel

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Bei uns im Skript steht aber:

Ähnliche Matrizen haben nichts mit
Ähnlichkeitstransformationen aus der Schulgeometrie zu tun.

Kann ich deine Formeln da dennoch verwenden und wenn ja: Was ist O,D,P?

Gibt es nicht eine einfachere Lösung bei 2x2 Matrizen?

13.01.2010, 10:30

Mazze

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Zwei Matrizen A , B heissen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix P gibt mit $\begin{eqnarray*} A = PBP^{-1} \end{eqnarray*}$ . Diese Ähnlichkeitsrelation ist in der Aufgabe gefordert.

Die Matrizen 1,2,3,4 sind alle diagonalisierbar, sprich es gibt zum Beispiel für Matrix 1 eine Matrix P so dass

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = PDP^{-1} \end{eqnarray*}$

Dabei ist D die Diagonalmatrix, auf deren Hauptdiagonalen die Eigenwerte stehen. Auch das solltest Du kennen. Wie man die Matrix P bestimmst solltest Du wissen. (Eigenwerte ausrechen, Basis aus den Eigenräumen bestimmen)

Nun zur Lösung der Aufgabe. Ähnliche Matrizen haben die gleiche Diagonalform (Jordannormalform). Sprich , Du erhälst die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} A = ODO^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A' = PDP^{-1} \end{eqnarray*}$

Das kann man umformulieren

$\begin{eqnarray*} A = ODO^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P^{-1}A'P = D \end{eqnarray*}$

Zweite Gleichung in erste einsetzen :

$\begin{eqnarray*} A = OP^{-1}A'PO^{-1} \end{eqnarray*}$

Dann ist die Transformationsmatrix $\begin{eqnarray*} B = OP^{-1} \end{eqnarray*}$ . O und P kann man wie oben berechnen. Ist nicht viel dabei. Alternativ kannst Du natürlich das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} A = B^{-1}A'B \end{eqnarray*}$

lösen. Das kann man umformulieren in

$\begin{eqnarray*} BA = A'B \end{eqnarray*}$

welches man lösen kann mit den gängigen Methoden. (sofern es lösbar ist)

13.01.2010, 10:44

pizzaschachtel

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Danke erstmal, habe es nun glaube verstanden. Werde mich heute Nachmittag noch mal daran setzten und bei Fragen noch mal hierrein schreiben.

Danke Augenzwinkern

13.01.2010, 11:00

jester.

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Zitat:

Original von Mazze
Es handelt sich hier doch um Ähnlichkeitstransformation, nicht um Basistransformation.

Wo liegt da deines Erachtens genau der Unterschied? Zwei Endomorphismen sind doch genau dann ähnlich, wenn ich eine Basis finde, so dass die Darstellungsmatrizen übereinstimmen.

Langer Rede kurzer Sinn: Hier ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1&\\&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} \left( \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ gegeben. Bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} \left( \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ erhält man dann die Matrix mit den vertauschten Diagonaleinträgen.

13.01.2010, 11:04

Ehos

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Man kann auch noch die Tatsache nutzen, dass für ähnliche Matrizen A, B gilt det(A)=det(B). Diese Forderung ist nicht hinreichend, aber notwendig und kann gerade bei 2x2-Matrizen als einfacher "Filter" zum Selektieren nichtähnlicher Matrizen benutzt werden.

13.01.2010, 11:06

jester.

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Zitat:

Original von Ehos
Man kann auch noch die Tatsache nutzen, dass für ähnliche Matrizen A, B gilt det(A)=det(B). Diese Forderung ist nicht hinreichend, aber notwendig und kann gerade bei 2x2-Matrizen als einfacher "Filter" zum Selektieren nichtähnlicher Matrizen benutzt werden.

Na schön, ohne eine Transformationsmatrix explizit anzugeben kann man das Minimalpolynom als trennende Invariante der Konjugationsoperation auf $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ -Matrizen verwenden. Dann hast du also auch ein hinreichendes Kriterium.

Als nur notwendiges Kriterium kannst du auch die Spur heranziehen, ist noch einfacher zu berechnen.

13.01.2010, 11:22

Mazze

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Für die Aufgabe macht es schon einen Unterschied. Zumal sich beim Basiswechsel zum Beispiel die Invarianten unter Ähnlichkeit ändern. Einfaches Beispiel : Man habe die Matrix A und die Matrix A' und die Basistransformation B mit A' = BA. Dann ist

$\begin{eqnarray*} \det(A') = \det(B)\det(A) = \det(A) \Leftrightarrow \det(B) = 1 \end{eqnarray*}$

Und det(B) = 1 gilt nun nicht immer. Daher passiert schon etwas anderes als bei Ähnlichkeit.

13.01.2010, 12:05

jester.

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Gemeint war (offensichtlich!) ein simultaner Basiswechsel in Urbild- und Bildraum.

13.01.2010, 14:01

WebFritzi

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RE: Transformationsmatrix 2er ähnlicher Matrizen

Zitat:

Original von pizzaschachtel
Nun stelle ich A' in Abhängigkeit von A da:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = -2*\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0*\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Das gleiche für die 2. Spalte der Matrix A'

--> B (Transformationsmatrix) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du hast leider die Matrix B so gewählt, dass A' = BA gilt. Das hilft nicht weiter.

Zitat:

Original von Mazze
Die Matrizen 1,2,3,4 sind alle diagonalisierbar

Denk da nochmal drüber nach...

13.01.2010, 14:24

Mazze

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Zitat:

Original von Mazze Die Matrizen 1,2,3,4 sind alle diagonalisierbar Denk da nochmal drüber nach...

Wieso? Die 4 ersten Matrizen haben alle jeweils 2 verschiedene Eigenwerte, und das ist hinreichend. Lediglich die 5te ist nicht diagonalisierbar.

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Transformationsmatrix 2er ähnlicher Matrizen

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