Grenzwert einer rekursiv definierten Folge

13.01.2010, 15:49

johny8891

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Grenzwert einer rekursiv definierten Folge

Hallo,

muss folgende Aufgabe lösen:

a_1 = 0,5 ; a_n+1 = sin(a_n)

Komme aber leider nicht weiter.

Ich weis zwar dass ich zuerst die Monotonie untersuchen soll und dann die Beschränkt heit. Aber irgendwie habe ich kein Plan davon, da es in der Vorlesung nicht (vielleicht nur angekrazt) behandelt wurde.

MfG J.

13.01.2010, 15:54

pseudo-nym

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Was ist denn die Aufgabe? Ich sehe bisher nur eine Folge...

@Arthur: Stimmt, es stehen Anweisungen da, wobei ich einges drauf wetten würde, dass das nicht die eigentliche Aufgabe ist.

13.01.2010, 16:22

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Zunächst mal wohl die genannten Monotonie und Beschränktheit. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sin(x) < x \end{eqnarray*}$ für alle positiven $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , insbesondere für $\begin{eqnarray*} 0 < x\leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , sollte man wirklich kennen - das lässt sich ja bereits mit der geometrischen Sinusdefinition begründen

13.01.2010, 17:09

johny8891

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Oh - sorry!^^

Aufgabe ist es den Limes für n->unendlich zu bestimmen.

Dabei soll zunächst die Monotonie, die Beschränktheit und zum Schluss der Grenzwert ermittelt werden

13.01.2010, 18:11

johny8891

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Trotzdem bin ich aus euren Erklärungen nicht schlauer geworden - bitte um genaue Erklärung - Danke!

13.01.2010, 18:19

pseudo-nym

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Wenn du in Arthurs Ungleichung $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann steht die Monotonie da...

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13.01.2010, 18:46

johny8891

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ins sin(x) < x oder wo stehe auf dem Schlauch.

Ne Rechnung wäre vielleicht hilfreich

13.01.2010, 18:48

pseudo-nym

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Setz da doch einfach mal für $\begin{eqnarray*} x\, a_n \end{eqnarray*}$ ein...

13.01.2010, 19:20

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Zitat:

Original von pseudo-nym
wobei ich einges drauf wetten würde, dass das nicht die eigentliche Aufgabe ist.

Genau deswegen hatte ich meinen Beitrag mit "Zunächst" eingeleitet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.01.2010, 19:22

johny8891

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sin(0,5) < 0,5 ?

Mich irritiert das a_n - versteh ich richtig dass es a_1 = 0,5 ist?

13.01.2010, 19:32

pseudo-nym

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Zitat:

Original von johny8891
versteh ich richtig dass es a_1 = 0,5 ist?

Das verstehst du absolut richtig, und damit sollte dir auch klar werden, dass du nicht $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ einsetzen solltest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Arthur: Jetzt wo du's sagst smile

smile

13.01.2010, 19:45

johny8891

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Ok

wenn ich für sin(x) X=a_n -> unendlich , so ist der Grenzwert entweder 1 oder -1.

13.01.2010, 19:54

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Du kannst dir die ersten Glieder dieser Folge sehr bequem mit dem TR anschauen:

Nimm den TR her, vergewissere dich, dass Winkelmodus RAD eingestellt ist, tippe 0,5 ein, und dann immer nur sin , sin , sin , ...

Meinst du, diese Folge konvergiert irgendwann gegen 1 oder -1 ? verwirrt

verwirrt

13.01.2010, 21:05

johny8891

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Also konvergiert sin(x); x=a_n-> unendlich gegen 0. (der TR war auf deg)

folgilch ist sin(a_n) < a_n oder?

was sagt mir das nun über die Monotonie aus?

13.01.2010, 21:51

pseudo-nym

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Du vermischt da gerade Schreibweisen miteinander, die nicht zusammengehören.

Ausdrücke wie $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \sin(x) \end{eqnarray*}$ gehören zu den Sachen die in der Schule oft benutzt werden obwohl niemand sie versteht.

Deswegen würde ich die an deiner Stelle erstmal weglassen.

Die Folge die betrachten sollst sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} a_1 = \frac 12, \, a_2 = \sin \left( \frac 12 \right), \, a_2 = \sin \left( \sin \left( \frac 12 \right) \right), \, a_2 = \sin \left( \sin \left( \sin \left( \frac 12 \right) \right) \right), \hdots \end{eqnarray*}$

Alles was ich nun von dir wollte war, dass du in der Ungleichung $\begin{eqnarray*} x > \sin(x) \end{eqnarray*}$ alle x durch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ersetzt und das Ergebnis mit der Defintion von Monotonie einer Folge vergleichst.

(Und außerdem hat das nix mit Algebra zu tun smile

smile

)

14.01.2010, 16:40

johny8891

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Also!

Die Aufgabenstellung lautete:

a_1 = 0,5 ; a_n+1 sin (a_n)

Bei der rekursiv definierten Folge untersuchen Sie die Monotonie der Folge und stellen Sie eine Vermutung an, ob die Folge beschränkt ist. Falls ja, dann wissen Sie , dass

a=limes n->unendlich a_n = a=limes n->unendlich a_n+1 existiert, und können auf beiden Seiten den Grenzwert bilden.

Wie schaut nun die Lösung aus?

14.01.2010, 18:56

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Ich würde mal vorschlagen, du machst die Augen auf:

Oben habe ich die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sin(x) < x \end{eqnarray*}$ genannt (die du entweder schon verwenden darfst bzw. eben andernfalls noch begründen solltest), und pseudo-nym hat dir empfohlen, diese Ungleichung für $\begin{eqnarray*} x=a_n \end{eqnarray*}$ zu nutzen - was also $\begin{eqnarray*} \sin(a_n) < a_n \end{eqnarray*}$ bedeutet.

$\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist nun monoton fallend, falls $\begin{eqnarray*} a_{n+1} < a_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt. Ist es wirklich so ein riesiger Schritt, bei deiner Folge von $\begin{eqnarray*} \sin(a_n) < a_n \end{eqnarray*}$ auf das gesuchte $\begin{eqnarray*} a_{n+1} < a_n \end{eqnarray*}$ zu schließen, dass du stattdessen lieber nochmal die Aufgabenstellung zitierst? unglücklich

unglücklich

14.01.2010, 20:09

johny8891

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Muss die Aufgabe morgen Abgeben und habe noch andere Sachen zuerledigen.

Dachte ihr könntet mir weiterhelfen - war aber leider ein Irrtum traurig

traurig

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