Geodätische......Frage?

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zozo Auf diesen Beitrag antworten »
Geodätische......Frage?
Hallo Leute
ich gebe heute ein Frage ,aber die Frage hat einen Hinweis hat,ich meine : ich kann nicht diesem Hinweis benutzen:
Die Frage lautet:
Betrachten Sie die Rotationsfläche

x



wobei und



glatte Funktionen sind mit
Zeigen Sie

:

Ein Breitenkreis von mit Radius

ist genau dann eine Geodätische von

wenn ein kritischer Punkt von ist, d. h. wenn

ist


(Hinweis. Man kann die Behauptung auch direkt, d. h. ohne Verwendung der

Differentialgleichungen)
zozo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich warte eure Hilfe Tanzen
 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Gegeben ist die folgende Fläche



Für die Funktionen h(u) und k(u) soll folgende Bedingung gelten

.

Aufgrund dieser Bedingung kann man setzen und und gewinnt folglich nach Integration bezüglich u die Funktionen




Einsetzen in die gegebene Fläche ergibt folgende explizite Fläche



Das ist ein Hyperboloid. Rein anschaulich sieht ein Hyperboloid so aus, wie ein Wasserturm bei Kraftwerken. Oft werden die Parameter auch als und bezeichnet. Nebenbei sei erwähnt, dass dieser Hyperboloid folgender Formel gehorcht



Diese Koordinaten-Darstellung kann man zur "Probe" nutzen, indem man dort die 3 Komponenten x,y,z der Fläche einsetzt und diese Gleichung bestätigt findet.

Du sollst zeigen, dass der Breitenkreis (="Umfang des Wasseturms") an der schmalsten Stelle eine Geodäte ist. Anschaulich ist das klar, weil dort die "Taille" des Wasseturms ist.
zozo Auf diesen Beitrag antworten »

sehr Dank Ehos fürdie Hilfe smile
ich habe noch bitte eine Frage
kann ich bewisen ,dass Gauß-Krümmung gleich Null ist
da ist , wobei Normalkrümmung und Geodätische krümmung sind verwirrt
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man beweisen will, dass ide Gaußsche Krümmung Null ist, würde ich diese einfach ausrechnen. Ich sage erst mal, was die Gaußsche Krümmung anschaulich bedeutet:

Bei einer gekrümmte Fläche kann man sich die Normaleneinheitsvektoren wie die "Stacheln bei einem Igel" vorstellen". Für eine ebenen Fläche sind diese "Stacheln" parallel, bei gekrümmten Flächen dagegen gespreizt.

Die Gaußsche Krümmung ist ein Maß dafür, wie stark diese diese Stacheln "gespreizt" sind. Diese anschauliche Definition ist 200 Jahre alt und stammt von Gauß. Leider wird sie in den "modernen" Lehrbüchern kaum mehr verwendet. Durch einfache Überlegungen kann man herleiten, dass die Gaußsche Krümmung wie folgt berechnet wird



Hierbei sind und wie üblich die Tangentialvektoren.

Wenn die Gaußsche Krümmung Null ist, bedeutet dies übrigens nicht, dass die Fläche eben ist. Zum Beispiel hat die Zylindermantelfläche die Gaußsche Krümmung 0, obwohl diese "gebogen" ist. Das liegt daran, dass man eine Zylindermantelfläche aus einem ebenen Blatt Papier "biegen" kann, ohne dass Falten und Risse entstehen. Ein intelligenter "2-dimensionaler Käfer" kann durch keinerlei Messungen innerhalb der Zylindermantelfläche feststellen, ob er auf einer Ebene oder auf einer Zylindermantelfläche krabbelt.

Umgekehrt kann man sagen: Da bei einem Zylindermantel die Normalvektoren in Richtimg der Zylinderachse parallel und nicht gespreizt sind, hat ein Zylindermantel eine verschwindende Gaußsche Krümmung.
zozo Auf diesen Beitrag antworten »

deine Erklärung war sehr gut. smile
ich habe eine Form in Litatur gefunden , kann ich die in diese Frage benuten?
Die Form:
.(*)

und jetzt meine Bws.

Betrachte Konstant und

und ist gleich

Dann folgt


und nun





erste Fundamentalform ist

nach Bedingung oben





und nun werden unsre Form benutzen(*)

ist ableitung bezöglich r



dann folgt

nun können wir sagen : bzw. Geodätische nur wenn

meine ist es richtig oder ................?? Erstaunt2
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe Deine Rechnung nicht konkret nachvollzogen. Ich sage Dir aber, was eine Geodäte anschaulich bedeutet und wie ich die Aufgabe rechnen würde:

Wir betrachten ein Auto, das auf einer gekrümmten Fläche mit konstantem Betrag |v|=1 fährt. Dabei durchfährt das Auto "Berge" und "Täler" und kann beliebige Rechts- oder Linkskurven machen. Dabei entstehen Fliehkräfte, die entweder seitlich oder senkrecht zur Fläche wirken.

Seitliche Kräfte entstehen bei Rechts- bzw. Linkskurven. Normalkräfte entstehen bei Fahrten über Berge und Täler. Bei einer Fahrt durch ein Tal wird der Fahrer senkrecht nach unten in den Sitz gedrückt, bei einer Fahrt über einen Berg wird er senkrecht nach oben aus dem Sitz heraus gehoben (=Normalkräfte).

Definition:
Eine Geödäte ist eine Linie, entlang der keine seitlichen Kräfte wirken, sondern nur Normalkräfte (oder gar keine Kräfte).

Beispiel:
Fährt man auf einer Kugeloberfläche um den Äquator wirken keine seitlichen Kräfte, sondern nur Normalkräfte, die den Fahrer (bei schneller Fahrt) aus dem Sitz heben. Man kan sagen, das Auto macht auf dem Äquator keine Kurven, sonder fährt ständig "über einen Berg".
Fährt man dagegen auf derselben Kugel in der Nähe des Nordpols ständig im Kreis nach Osten, macht man ständig eine Linkskurve und spürt dabei seitliche Fliehkräfte (nach Süden).

In diesem Zusammenhang haben die Begriffe "geodätische Krümmung" und "Normalkrümmung" folgende Bedeutung:

Die "geodätische Krümmung" ist ein Maß für die seitlichen Kräfte, die "Normalkrümmung" ist ein Maß für die Normalkräfte. Ich erkläre das mal physikalisch:

Wenn das Auto entlang der Kurve fährt, wirkt die Kraft . Der Einfachheit halber setzen wir die Masse m=1. Also ist die Beschleunigung ein Maß für die uns interessierende Beschleunigungskraft. Durch einfache geometrische Überlegungen kann man diesen Vektor in einen Normalanteil und einen seitlichen Anteil zerlegen, also



Beide Anteile sind per Definition senkrecht zueinander. Die Beträge beider Summanden sind gerade die (skalare) geodätische bzw. die Normalkrümmung.
----------------------------

Jetzt wenden wir das Gesagte auf deine Aufgabe an. Wir hatten berechnet, dass die Oberfläche des Hyperbpoides lautet



Die Breitenkreise sind dadurch gekennzeichnet, dass der Parameter konstant bleibt und nur variiert.

Wir berechnen nun die Fliehkraft , die bei der Bewegung entlang eines Breitenkreises wirkt. Dazu müssen wir zwei Mal nach ableiten, also

.

Wie anschaulich klar ist und wie man sich durch einfache Vektorrechnung leicht klar machen kann, steht diese Fliekraft nur beim Beitenkreis , also und , senkrecht auf dem Hyperboloid (also nur in der Taille des Hyperboloides). Nur dort gilt also , so dass nur dort der oben berechnete seitliche Anteil der Fliefraft verschwindet. Rechne das einfach mal. Dazu musst du natürlich vorher den Normalvektor des Hyperboloides berechnen.
zozo Auf diesen Beitrag antworten »

Gut gemacht , smile
könnten sie mir erklären ,was bedeute erste und zweite Fundamentalform in der Natur?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Motivation der 1.Fundamentalform:

Die 1.Fundamentalform benötigt man, um Entfernungen auf gekrümmten Flächen zu berechnen. Betrachte z.B. ein Schiff auf dem Ozean, das entlang der Kurve fährt. Hierbei sind u, v die Flächenparameter. In der Schifffahrt benutzt man z.B. Kugelkoordinaten, also den Längengrad und den Breitengrad . (Eine Seemeile von ca. 1,8 km ist z.B. eine Bogenminute, also Erdumfang/360°/60.) Den Parameter t kann man als Zeit interpretieren. Wir wollen eine Formel zu Berechnung der Weglänge des Schiffes ableiten. Dazu berechnen wir zuerst den Geschwindigkeitsvektor des Schiffes, welcher bekanntlich die 1.Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit ist, also . Beim Differenzieren nach der Zeit ist zu beachten, dass der Ort eine verkettete Funktion darstellt, also . Der Geschwindigkeitsvektor ergibt sich also mittels Kettenregel wie folgt



Der Betrag des Geschwindigkeitsvektors ist die Wurzel des Quadrat des Geschwindigkeitsvektors, also . Wir setzen den obigen Ausdruck ein und erhalten für den Betrag der Geschwindigkeit den wichtigen Ausdruck



Wir haben den letzten Term in Matrixschreibweise formuliert, was mitunter vorteilhaft ist. Mit diesem Ausdruck für die momentane Geschwindigkeit ist es sehr einfach, den zurückgelegten Weg des Schiffes zu berechnen. Bekanntlich ist der Betrag der Geschwindigkeit (nicht der Betrag des Geschwindigkeitsvektors) die 1.Ableitung der Weglänge nach der Zeit, also



Umgekehrt ist natürlich der Weg s das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit. Durch reine Integration erhält man also

s=

Im Integranden setzen wir nun für die Geschwindigkeit v(t) den oben berechen Wurzelausdruck in Matrixschreibweise ein. Der Matrixausdruck unter der Wurzel wird als "Erste Grundform" oder "Erste Fundamentalform" bezeichnet. Aus physikalischer Sicht ist dies nichts anderes als das Quadrat der Geschwindigkeit.


Motivation der Zweiten Fundamentalform

Wenn ein Auto auf einer gekrümmten Fläche fährt, wirken Trägheitskräfte . Zum Beispiel wirken bei Kurvenfahrten seitliche Kräfte und bei Berg- bzw. Talfahrt senkrechte Kräfte, die den Fahrer in den Sitz "hineinpressen" oder aus dem Sitz "herausheben". Wenn der Fahrer die Masse m=1 hat, sind diese Kräfte . Wir interessieren uns im Folgenden nur für den senkrechten Kraft-Anteil, also für die Projektion von auf den Normalvektor . Der Betrag dieser senkrechten Kraft ist offenbar das Skalarprodukt

.

Mitunter ist es besser, diesen Ausdruck anders zu formulieren: Offenbar gilt aufgrund der Produktregel



Da der Vektor gerade die Geschwindigkeit ist, welche tangential zur Fläche ist und damit senkrecht auf dem Normalvektor steht, verschwindet die linke Seite und die Formel reduziert sich auf



Damit können wir in der obigen Formel die rechte Seite ersetzen und erhalten für den senkrechten Kraftanteil



Ähnlich wie bei der Herleitung der 1.Fundamentalform berechnen wir beide Faktoren durch Differenzieren nach der Zeit mittels Kettenregel





Einsetzen beider Ausdrücke in ergibt ähnlich wie bei der Ersten Fundamentalform einen Ausdruck, den man in Matrixschreibweise zusammenfassen kann



Diesen Ausdruck bezeichnet man als "Zweite Fundamentalform". Aus physikalischer Sicht ist dies wie gesagt der Anteil der Fliehkräfte, welcher während der Fahrt senkrecht zur gekrümmten Fläche wirkt (nicht seitlich). Aus diesem Ausdruck lassen sich wichtige Rückschlüssen auf die Form der Fläche ziehen. Anschaulich ist dies klar: Während der Autofahrt kann der Fahrer anhand der senkrechten Kräfte, welche ihn in den Sitz pressen oder aus dem Sitz herausheben, feststellen, welche Form die Fläche hat (quasi mit verbundenen Augen, nur anhand der Kräfte).

Ich mache noch eine Einschränkung: Der Betrag der Geschwindigkeit muss dabei konstant v=1 sein. Das heißt, "Gasgeben" und "Bremsen" sind verboten. Kurven sind aber beliebig erlaubt. Würde man nämlich "Gasgeben" und "Bremsen" erlauben, kämen weitere Trägheitskräfte hinzu, die mit der eigentlichen Gestalt der gekrümmten Fläche nichts zu tun haben. Erlaubt man "Gasgeben" und "Bremsen", dann kommt in der letzten Formel noch ein Quotinet hinzu, der das "Gasgeben" und "Bremsen" korrigiert. Dieser Quotient hängt dann wiederum mit der Ersten Fundamentalform zusammen, worauf ich hier aber nicht eingehe.
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