Nullteiler, Matrizen

15.01.2010, 10:01

Lea

Nullteiler, Matrizen

Hallo
Komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sei $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n,n} \end{eqnarray*}$ der Ring der (n,n)- Matrizen mit reellen Einträgen. Beweise, dass eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{n,n} \end{eqnarray*}$ genau dann ein Nullteiler des Ringes $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n,n} \end{eqnarray*}$ ist, wenn $\begin{eqnarray*} A \neq 0 \end{eqnarray*}$ und det A=0 gilt.
Ich kenne die Bedeutung des Nullteilers. Ich habe aber keine Idee wie ich diesen Beweis, der offenbar in 2 Richtungen geführt werden muss (wegen des "genau dann") angehen soll. Wäre sehr dankbar für einen Tipp.

15.01.2010, 10:19

Mazze

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Die Hinrichtung ist nicht schwer, sei

$\begin{eqnarray*} AB = 0 \end{eqnarray*}$ also A der Nullteiler von B (Linksnullteiler in dem Fall). Dann sind A und B per definition ungleich Null. Jetzt mache einen Beweis mit Widerspruch, nimm an A hätte nicht Determinante null, was bedeutet das?

Die Rückrichtung ist auch nicht so schlimm. Sei A ungleich null und Determinante von A gleich 0. Dann ist zu zeigen das es ein B ungleich Null gibt mit AB = 0. Schau Dir dazu mal den Kern von A an, da die Determinante Null ist gibt es mindestens einen Vektor v ungleich 0 mit $\begin{eqnarray*} Av = 0 \end{eqnarray*}$ , wie kannst Du mit Hilfe dieses Vektors die Matrix B definieren?

15.01.2010, 16:05

Lea

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Danke für die Antwort.
Also zur Hinrichtung:
Es gilt ja: det(A)det(B)=det(AB)
Und nach meiner Annahme ist det(A) ungleich 0 und nach Vorraussetzung ist AB=0 also det(AB)=det (0)=0. Also müsste det (B)=0 sein, da sonst det(A)det(B) nicht 0 wäre. Aber det(B) darf oder kann nicht 0 sein?
Da hört es irgendwie ein bisschen auf. Habe ich überhaupt in die richtige Richtung überlegt? Mir fehlt es ein bisschen am Hintergrundwissen über Determinanten.

15.01.2010, 17:43

Mazze

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Zitat:

Und nach meiner Annahme ist det(A) ungleich 0 und nach Vorraussetzung ist AB=0 also det(AB)=det (0)=0. Also müsste det (B)=0 sein, da sonst det(A)det(B) nicht 0 wäre. Aber det(B) darf oder kann nicht 0 sein?

Doch, es wird lediglich gefordert das B ungleich Null ist, B darf durchaus Determinante Null haben. Den Widerspruch bekommst Du wenn Du bei der Gleichung

$\begin{eqnarray*} AB = 0 \end{eqnarray*}$

eine äquivalente Umformung machst. Du brauchst hier nur das eine Matrix invertierbar ist wenn was gilt?

15.01.2010, 17:57

Lea

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Zitat:

Original von Lea
Danke für die Antwort.
Also zur Hinrichtung:
Es gilt ja: det(A)det(B)=det(AB)
Und nach meiner Annahme ist det(A) ungleich 0 und nach Vorraussetzung ist AB=0 also det(AB)=det (0)=0. Also müsste det (B)=0 sein, da sonst det(A)det(B) nicht 0 wäre.

Wenn det(B)=0 gilt dass B nicht invertierbar und damit kann AB nicht gleich 0 sein. Stimmt das?

15.01.2010, 18:01

Mazze

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Zitat:

Wenn det(B)=0 gilt dass B nicht invertierbar und damit kann AB nicht gleich 0 sein. Stimmt das?

Nein. Wenn Du eine Matrixgleichung $\begin{eqnarray*} X = Y \end{eqnarray*}$ hast, und eine invertierbare Matrix P hast, dann gilt :

$\begin{eqnarray*} X = Y \Leftrightarrow PX = PY \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} X = Y \Leftrightarrow P^{-1}X = P^{-1}Y \end{eqnarray*}$

Jetzt nehmen wir an das A die Determinante ungleich Null hat. Mit welche Matrix würde man also die Gleichung $\begin{eqnarray*} AB = 0 \end{eqnarray*}$ multiplizieren?

15.01.2010, 18:27

Lea

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Dann würde ich die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ , da A wegen det(A) ungleich 0 und damit invertierbar ist. Also ist B=0 und das ist Widerspruch zur Vorraussetzung dass B und A ungleich 0 sein sollen.
Und mein Zeugs davor kann ich vergessen.

15.01.2010, 18:32

Mazze

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Das Problem deiner Idee war das Du angenommen hast die Determinante von B darf nicht null sein. Damit die Gleichung aber stimmt müssen (!) die Determinante sowohl von A als auch von B gleich null sein. Ansonsten kann man mit dem Multiplikationsargument immer folgern das A oder B gleich null sind, was ja nicht geht.

Das hier

Zitat:

Ist aber korrekt!

edit : Genauer gesagt multiplizierst Du die Gleichung mit A^{-1} von links. Das muss man bei den Umformungen immer dazu sagen.

21.01.2010, 23:09

Lea

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Zwar ein bisschen spät, aber wollte mich noch für die sehr hilfreichen Tipps bedanken. Konnte die Aufgabe damit lösen. Danke!

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