Kurze Rückmeldung benötigt: Permutation in Transpositionen zerlegen!

17.01.2010, 10:32	saskia_val	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Rückmeldung benötigt: Permutation in Transpositionen zerlegen! Guten Morgen! Als Aufgabe muss ich die Permutation $\begin{eqnarray} \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 3 & 5 & 7 & 1 & 6 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als Produkt von Transpositionen darstellen. Meine Lösung sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray} \sigma = \tau_{4,7} \circ \tau_{3,5} \circ \tau_{2,3} \circ \tau_{1,2} \end{eqnarray}$ Kann das richtig sein? Richtig hinschreiben kann ich es doch nur in dieser abstrakten Form, also mit den $\begin{eqnarray} \tau_i,j \end{eqnarray}$ , oder? "Ausrechnen" tu ich's ja dann von rechts nach links, also die Transposition ganz rechts als erstes usw. ... und wenn ich dann auf die Permutation komme, dann müsste es doch stimmen, oder? Eine kurze Rückmeldung wäre sehr nett! Vielen Dank!
17.01.2010, 10:43	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Rückmeldung benötigt: Permutation in Transpositionen zerlegen! Nein, das ist so nicht korrekt: $\begin{eqnarray} \sigma(5) = \tau_{4,7} \circ \tau_{3,5} \circ \tau_{2,3} \circ \tau_{1,2}(5) = 3 \end{eqnarray}$
17.01.2010, 10:50	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss jetzt gleich weg, also noch einen Tipp: Zerlege die Permutation erst einmal in die beiden disjunkten Zyklen, dann weiter in die zugrundeliegenden Transpositionen.
17.01.2010, 10:58	rauschgold	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dankeschön für deine Antwort. Sollte etwa $\begin{eqnarray} \sigma(5) = 1 \end{eqnarray}$ sein? Ist vielleicht schon mein Gedankengang falsch? Anfangs hab ich mir einfach $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aufgeschrieben und mir dann überlegt, wie ich davon ausgehend auf meine Permutation komme. Dazu muss ich erst 1 und 2 vertauschen, erhalte $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 1 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , dann 2 und 3, erhalte $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 3 & 1 & 4 & 5 & 6 & 7\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , nun 3 und 5, erhalte $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 3 & 5 & 4 & 1 & 6 & 7\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , und schliesslich 4 und 7, erhalte $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 3 & 5 & 7 & 1 & 6 & 4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Und dann schreibe ich das als Produkt von Transpositionen so hin wie im vorigen Beitrag. Oder liegt bereits hier der Fehler? Danke! edit: danke für deinen Tipp. Von disjunkten Zyklen habe ich noch nie etwas gehört. Meinst du damit 1 2 3 4 5 6 7 und 2 3 5 7 1 6 4 ? Hier im Forum habe ich gelesen, man könne das so machen: 1 2 3 4 5 6 7 . . . 2 3 5 7 1 6 4. Die Punkte entsprechen meinen Überlegungen oben.
17.01.2010, 13:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein 3-Zykel ist eine spezielle Permutation $\begin{eqnarray} a\to b\to c\to a =\begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \end{pmatrix} =(a b c)=(ab)(bc)=\tau_{a,b}\circ\tau_{b,c} \end{eqnarray}$ . Analog für n-Zykel mit n>1.

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