Lagrange für Nutzenmaximierung

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tank222 Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange für Nutzenmaximierung
Ökonomischer Akteur möchte seinen Nutzen U(x,y,z) mit den drei Gütern x, y und z (px = 3, py = 3, pz = 1) maximieren und dabei ein gesamtes Budget von 175 GE verbrauchen. Stellen Sie die Lagrange-Funktion auf und lösen sie das Problem (nutzenmaximales Güterbündel).


Max u(x, y, z) = 2xy + 1,5z2
u.d.B. 3x + 3y + z = 175

L(x, y , z, ) = 2xy + 1,5z² - *(3x + 3y + z ? 175)

Lx = 2y - 3
Ly = 2x - 3
Lz = 3z -
L = 3x + 3y + z ? 175

Aus Lx = 0, Ly = 0 und Lz = 0 folgt: x = y = 3/2
z = /3

in L eingesetzt, ergibt sich: = 18,75
x = y = 28,125
z = 6,25

Damit ist u(x, y, z) = 1640, 625 und die Nebenbedingung erfüllt.

Um den damit erhaltenen stationären Punkt als Optimum zu überprüfen, schreiben wir die umrandete Hesse-Matrix an und überprüfen gemäß 2m+1 = 3 (2*1+1 mit m=Anzahl der NB) die dritte und vierte Hauptabschnittsdeterminante.

H=
0 3 3 1
3 0 2 0
3 2 0 0
1 0 0 3







D3 = +36 und D4 = +40

Daraus folgt: Um ein Maximum zu bestätigen, müssten die Vorzeichen der Hauptabschnittsdeterminanten alternierend positiv und negativ sein, beginnend mit dem Vorzeichen (-1)m+1 = (-1)2 = +1. Dieser Fall ist mit D3 = +36 und D4 = +40 nicht gegeben und das Maximum konnte nicht bestätigt werden.

Soweit, so gut. Unserer Meinung nach müsste die Lösung allerdings auf den ersten Blick erkennbar sein: Da Gut z mit der quadrierten Hochzahl in die Nutzenfunktion einfließt und gleichzeitig das ?billigste? Gut ist, sollte der ökonomische Akteur sein gesamtes Budget für Gut z verbrauchen. Die Lösung müsste dementsprechend x = y = 0 und z = 175 sein, was zu U(x, y, z) = 30625 führen wurde; die Nebenbedingung wäre ebenfalls erfüllt.



Nun unsere Fragen:

a) Warum führt uns Lagrange in diesem Fall nicht zum richtigen Ergebnis?
b) Ist unsere Annahme richtig, dass x = y = 0 und z = 175 das Problem optimal löst?
c) Wenn dem so ist, wie kann ich es beweisen (die Angabe lautet ja eindeutig: Lösen Sie mit Lagrange)?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange für Nutzenmaximierung
Bitte verwendet Latex doch komplett. Und dann soll das wohl z² heißen.





Da Lagrange genommen werden soll, die L-Funktion aufstellen. http://www.eco.uni-heidelberg.de/ng-oeoe...gsverfahren.pdf













code:
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25:
26:
27:
 A=[0,2,0,3;2,0,0,3;0,0,3,1;3,3,1,0]
A =
     0     2     0     3
     2     0     0     3
     0     0     3     1
     3     3     1     0
>> b=[0;0;0;175]
b =
     0
     0
     0
   175
>> v=A\b
v =
   28.1250
   28.1250
    6.2500
  -18.7500

>>u=2*v(1,1)*v(2,1) + 1.5*v(3,1)*v(3,1)
u =
  1.6406e+003

Probe:
>>t=3*v(1,1)+3*v(2,1)+v(3,1)
t =
   175


Problematisch wäre für mich hier, dass die Lösung nicht ganzzahlig ist. [Ich würde die Aufgabe aber unter "ganzzahige Optimierung" fassen würde. Da wäre das imho eh nicht der richtige Weg. Aber mit ganzzahliger O kenne ich mich nicht aus]

Die von euch gefunde Lösung liegt auf dem Rand. Lagrange findet nur innere Punkte. (vergleiche PDF). Das sollte die Ursache sein.
tank2222 Auf diesen Beitrag antworten »

hi. danke für die rasche antwort.

sorry für die schlechte schreibweise, hab noch nie hier gepostet, werds mir merken.

aus deiner antwort erkenne ich, dass du zu den gleichen (unlogischen) endergebnissen kommst. wie ist das möglich? lagrange sollte ja eben genau eine randlösung finden, da die NB als gleichung gegeben ist (das bedeutet ja, dass die OL auf der NB liegen muss, ergo: randlösung), oder nicht? und stimmst du zu, dass man bereits aus der angabe erkennen kann, dass die optimale lösung x = y = 0 und z = 175 sein muss?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

In meinem letzten Satz steht die Antwort. Lagrange findet nur innere Extremwerte. Du suchst einen Globalen. Einfacheres Beispiel



Ableitung 0 setzen findet den lokalen Extremwert. Hier liegt aber, da restringierte Problem, ein Randmaximum vor.
tank2222 Auf diesen Beitrag antworten »

Was wäre jetzt die korrekte Antwort auf die Frage nach dem optimalen Güterbündel?
Und wenn man die Lösung die wir mit Lagrange erhalten (28,125, 28,125, 6,25) mit der umrandenten Hessematrix überprüft bestätigt sie diesen Punkt ja nicht (!) als Optimum (weil indefinit)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde, wie ich schon sagte, diesen "Kandidaten" sowieso hier nicht nehmen, weil nicht ganzzahlig. Ansonsten, wenn man das ignoriert, sagt Lagrange ja nicht, dass jeder Punkt der raus kommt, eine Lösung ist. Hier wohl noch nicht mal Extremwert.

Lagrange => bietet hier keine Lösung.

Konkretere Rückfragen an den Fragesteller bitte, denn der wollte ja, dass ihr Lagrange nehmt. Augenzwinkern Warum, weiß ich nicht.
 
 
tank2222 Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke. wir habens eh genau so gerechnet, nur nicht glauben können, dass die angabe dann ernst gemeint ist. danke nochmal!
tank2222 Auf diesen Beitrag antworten »

eine frage noch: wenn eine nebenbedingung bei einem minimierungsproblem als ungleichung mit gegeben ist, muss ich sie dann auf bringen, um das optimierungsproblem korrekt zu lösen bzw bei einem maximierungsproblem vice versa?!?! bitte um rasche antwort!!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst es auf die Form bringen, auf der ihr eure Lösungsalgorithmus formuliert habt. Das kann ich so nicht beantworten.
tank2222 Auf diesen Beitrag antworten »

wie meinst du das? meine literatur sagt, dass ein NLP in normalform bei einem minimierungsproblem alle NB als ungleichungen in der form g(x,y) c gegeben sein müssen und umgekehrt. ist dies nicht der fall, so muss man die jeweiligen NB auf die entsprechende normalform bringen. oder nicht?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist deine Literatur? Mein NLP (Non Linear Program) sind einfach Probleme der Gestalt

min f(x) u.d.N. g(x)<=0, h(x)=0


D.h aber doch nur "Extremwertprobem" unter "Gleichheits-" und "Ungleichheitsresktriktionen." Mittels Vorzeichenwechsel kann ich äquivalent auch max oder >=0 schreiben. Dann ändere ich nicht die Lösung x* noch die zulässige Menge X*.
tank2222 Auf diesen Beitrag antworten »

genau das mein ich ja: wenn es sich um ein minimierungsproblem handelt, müssen die nebenbedingungen als ungleichungen der form g(x,y) c vorliegen. bei einem maximierungsproblem genau umgekehrt. habe ich also ein minimierungsproblem und meine nebenbedingung ist nicht in normalform, sondern "verkehrt" gegeben, so muss ich sie mit (-1) multiplizieren, um das ungleichheitszeichen zu drehen und die normalform zu erhalten, oder? tue ich das nicht, komme ich bei meinem beispiel auf andere lösungen (kann ja auch nicht das gleiche rauskommen)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir ist die "Standardform" . Bei dir eben anders. Das ist doch eine Definitionssache.

Wenn dein Verfahren auf einer gewissen Darstellungsform basiert, muss du die Aufgabe eben erst anpassen. Das heißt aber doch nicht, dass bei Minimierungsproblemen immer nur "" Restriktionen - wie du es schreibst - auftreten dürfen. Meine Standardform ist doch schon ein Gegenbeispiel.
tank2222 Auf diesen Beitrag antworten »

hm, dachte da gibt es eine einheitliche normalform...so steht es zumindest in dem von uns in der vorlesung verwendeten buch. ergäbe auch sinn, denn ökonomische minimierungsaufgaben à la "minimiere kosten" unter der nb, dass die produzierte stückzahl ... sein soll und ähnliches. aber gut, scheinbar müssen wir das so umformen, auch wenn du das nicht unbedingt bestätigst. eigenartig, dass das nicht einheitlich so ist, denn die ergebnisse mit und ohne umformen sind ganz andere (im sinn von: ohne umformen habe ich mehrere lösungskandidaten, aber im endeffekt kommt man auf das gleiche minimum)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Welches Buch?

Und was meinst du mit anderen Lösungen? Der Bereich der zulässig ist, ändert sich doch nicht. Nur die Art wie ich ihn beschreibe..

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