Verkettungen von Abbildungen

17.01.2010, 16:48

lady88

Verkettungen von Abbildungen

Es soll folgendes gezeigt werden doch irgendwie komm ich nicht weiter

(h°g)° f = h° (g° f)

mit

f: V1 --> V2

g: V2 --> V3

h: V3 --> V4

danke schonmal für eure hilfe

17.01.2010, 16:52

Mazze

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Für 2 Abbildungen $\begin{eqnarray*} h : M \to N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g : M \to N \end{eqnarray*}$ gilt :

$\begin{eqnarray*} h = g \Leftrightarrow h(x) = g(x) ~ \forall x \in M \end{eqnarray*}$

Sprich, deine Aufgabe ist zu zeigen :

$\begin{eqnarray*} ((h \circ g) \circ f) (x) = (h \circ (g \circ f))(x) ~ \forall x \in V_1 \end{eqnarray*}$

gilt.

17.01.2010, 16:59

lady88

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stimmt folgende vorgehensweise

((h°g)°f)= (h(g(v2))°f(v1) = (h(g(f(v1))) = (h° (g(f(v1))) = h°(g°f)

17.01.2010, 17:05

Mazze

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Schon dein erster Umformungsschritt ist nicht definiert.

Wenn h eine Funktion ist dann ist $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ ein Element der Bildmenge. Daher macht eine Gleichung

$\begin{eqnarray*} h = h(x) \end{eqnarray*}$

keinen Sinn. Fange so an, sei $\begin{eqnarray*} x \in V_1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} ((h \circ g) \circ f)(x) = (h \circ g)(f(x)) = h(g(f(x)) = ... \end{eqnarray*}$

17.01.2010, 17:11

lady88

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schonmal danke für deine bisherige hilfe

also würde doch jetzt folgen

...= h(x)(g°f) = h°(g°f)

oder ?

17.01.2010, 17:12

Mazze

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Du solltest peinlich genau darauf achten was Du schreibst, denn $\begin{eqnarray*} h(x)(g \circ f) \end{eqnarray*}$ hat nichts mit der Aufgabe zu tun.

17.01.2010, 17:15

lady88

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...= (h(x))(g°f) = (h°(g°f))(x)

so etwa

17.01.2010, 17:21

Mazze

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Warum willst Du unbedingt h(x) vorne hinschreiben. Das ist immer falsch. Besser so

$\begin{eqnarray*} h(g(f(x)) = h((g \circ f) (x)) \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich dir schon fast die ganze Aufgabe abgenommen.

17.01.2010, 17:26

lady88

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nun gibt es zu dieser aufgabe noch eine weitere unter aufgabe

es ist zu zeigen das g°f eine lineare abbildung ist

nun bin ich so weit gekommen es muss gelten

(g°f)(v1+v1')= (g°f)(v1) + (g°f)(v1')
und
(g°f)(k*v1)=k*(g°f)(v1)

also ich hab es um zu vereinfachen (g°f)(v1):=u(v1) gesetzt

so folgt doch nun

u(v1+v1')= u((v1)+(v1')) = v3 + v3' = u(v1) + u(v1')
u(k*v1)= u(k*(v1)=k*v3=k*u(v1)

daraus folgt u ist lineare abbildung stimmen die einzelenen schritte danke

17.01.2010, 17:33

Mazze

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Du solltest schon die vollständige Aufgabe hinschreiben. Allgemein ist $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ niemals Linear. Sind jedoch g und f linear, dann gehts. Unter diesen Voraussetzungen ist dein Beweis aber noch immer falsch , bei diesem Schritt

Zitat:

u((v1)+(v1')) = v3 + v3'

benutzt Du die Aussage die Du beweisen willst schon, bevor Du sie überhaupt bewiesen hast. Sprich Du argumentierst so : Blauwale können fliegen weil Blauwale fliegen können. Du wirst selber feststellen das dies kein Beweis ist.

Besser so , seien g und f linear, dann ist für $\begin{eqnarray*} x \in D_f \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (g \circ f)(x + y) = g(f(x + y)) = g(f(x) + f(y)) = ... \end{eqnarray*}$

17.01.2010, 17:42

lady88

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ich weis du hälst mich bestimmt für sehr doof aber ich brauch für alles immer etwas länger um etwas zu verstehen, also ich danke für dein verständnis

also würde jetzt folgen
...=g(f(x))+g(f(y))=(g°f)(x)+(g°f)(y)

und

(g°f)(kx)=g(f(kx))=g(kf(x))=k*g(f(x)=k*(g°f)(x)

ups entschuldige ja f und g sind lineare Abbildungen ^^ ist es jetzt soweit in ordnung

(p.s. du bist super nett dich müsste man als nachhilfe lehrer einstellen und nicht den den ich hab bei dem versteh ich noch weniger immer)

17.01.2010, 17:53

Mazze

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Zitat:

ich weis du hälst mich bestimmt für sehr doof aber ich brauch für alles immer etwas länger um etwas zu verstehen, also ich danke für dein verständnis

Nicht für doof, nur sehr ungenau. Definitionen ordentlich aufschreiben ist Grundlage für die Aufgabe.

Zitat:

also würde jetzt folgen ...=g(f(x))+g(f(y))=(g°f)(x)+(g°f)(y)

Richtig!

Zitat:

(g°f)(kx)=g(f(kx))=g(kf(x))=k*g(f(x)=k*(g°f)(x)

Auch richtig!

17.01.2010, 18:08

lady88

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danke

nun noch mal eine komplett andere aufgabe hab zwar schon einige schritte doch bin ich mir nich so sicher

also erst mal die aufgabe

U1,U2 seien komplmentäre Unterräume eines K-Vektorraums V. p: V-->U1 die abbildung, für v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V lässt sich schreiben v = u1 + u2 mit u1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U1 und u2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U2 und setze p(v):= u1

zu zeigen ist, ist p eine lineare abbildung

also ich hab mir folgendes gedacht

seien v = u1 + u2 , v' = u1' + u2'

p(v+v')= p((u1+u2)+(u1'+u2'))=p(u1+u2+u1'+u2')=p(u1+u1'+u2+u2')...

da nun u1+u1' $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U1 und u2+u2' $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U2 ist folgt

...= u1 + u1' = p(v)+p(v')

p(k*v)=p(k*(u1+u2))=p(ku1+ku2)=ku1=k*p(v) <-- hier bin ich mir nicht so sicher

17.01.2010, 18:12

Mazze

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Es ist beides richtig. Zur Begründung der zweiten Gleichung : $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ ist ein Vektorraum, das bedeutet, wann immer $\begin{eqnarray*} v \in U_1 \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist auch $\begin{eqnarray*} k * v \in U_1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ .

17.01.2010, 18:23

lady88

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ok danke für die erklärung ist jetzt etwas klarer

nun ist da noch eine behauptung ist p surjektiv?

definition surjektiv
Es seien X und Y Mengen, sowie f: X-->Y eine Abbildung.

f heißt surjektiv, wenn für alle y aus Y mindestens ein x aus X mit f(x) = y existiert.

meine frage nun wie soll ich das hier zeigen weis mir einfach nicht zu helfen

17.01.2010, 18:26

Mazze

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Was denkst Du denn ? Ist p surjektiv oder nicht?

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