Funktion nach a & c auflösen

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18.01.2010, 21:53

Kathz

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Funktion nach a & c auflösen

Halle alle zusammen!

ich habe die Fkt.

30 = a/2c * ( e hoch 100c + e hoch -100c)

Wie komme ich auf a und c?

18.01.2010, 21:55

Kathz

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RE: Funktion nach a & c auflösen
Könnte man das spalten?
also 30 = a/2c v. 30 = e hoch 100c + e hoch -100c

???

18.01.2010, 21:56

Mulder

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RE: Funktion nach a & c auflösen
Ich habe nur drauf gewartet. Big Laugh

Das ist nämlich die erste Stelle in der Aufgabe, wo es wirklich etwas weniger banal wird. Dürfte ich dir nahelegen, vorher noch die Lage des Extrempunktes einzubeziehen? Dann kannst du das a/c vorne eliminieren.

18.01.2010, 22:00

Kathz

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RE: Funktion nach a & c auflösen
Ja dann hätte ich ja 30 a/c = a/2c
und dann 30 = 2 ( ehoch 100c + e hoch-100c)

18.01.2010, 22:04

Mulder

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RE: Funktion nach a & c auflösen

Zitat:

Original von Kathz
Ja dann hätte ich ja 30 a/c = a/2c

Nein.

Der Tiefpunkt liegt allgemein: $\begin{eqnarray*} \text{TP} = \left ( 0 \, \, | \, \, \frac{a}{c} \right ) \end{eqnarray*}$

Im vorliegenden Fall soll die Höhe 5 betragen. Also: $\begin{eqnarray*} \text{TP} = \left ( 0 \, \, | \, \, 5 \right ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{a}{c}=5 \end{eqnarray*}$

Das nun einsetzen.

18.01.2010, 22:11

Kathz

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RE: Funktion nach a & c auflösen
ya da steht aber a/ 2c also muss ich das noch mit der 2 berechnen, was ja nicht ganz geht, weil a / c insgesamt 5 ist

18.01.2010, 22:13

Mulder

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RE: Funktion nach a & c auflösen
Naja komm, wenn $\begin{eqnarray*} \frac{a}{c}=5 \end{eqnarray*}$ , was ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2c} = \frac{a}{c} \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

18.01.2010, 22:14

Kathz

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RE: Funktion nach a & c auflösen
sagen wir mal wir lassen das so.

Dann habe ich ja
30 = 5* ( ehoch 100c + e hoch -100c)

wäre der schritt | ln da richtig?
also ln(30) = ln(5) * ( 100c + (-100c) )

18.01.2010, 22:15

Kathz

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RE: Funktion nach a & c auflösen
Boah ok das wir langsam echt peinlich-.-
Hats du nicht gelesen Big Laugh

Ja dann

30 = 5/2 * ( ehoch 100 + e hoch -100)

ist der ln schritt den richtig?

18.01.2010, 22:17

Mulder

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RE: Funktion nach a & c auflösen
Ich sag's nicht weiter. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 30 = \frac{5}{2}(e^{100c}+e^{-100c}) \end{eqnarray*}$

Zuerst mal auf beiden Seiten mit $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$ multiplizieren. Dann sehen wir weiter.

18.01.2010, 22:24

Kathz

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RE: Funktion nach a & c auflösen
$\begin{eqnarray*} 12 =e^{100c}+e^{-100c} \end{eqnarray*}$

18.01.2010, 22:32

Mulder

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RE: Funktion nach a & c auflösen
Einverstanden (und gut, dass du es mit Latex versuchst, das ist übersichtlicher).

Jetzt wird es allerdings etwas ungemütlicher, denn so, wie du den ln angewendet hast, funktioniert das nicht, sondern allenfalls so:

$\begin{eqnarray*} \ln(12) =\ln({e^{100c}+e^{-100c}}) \end{eqnarray*}$

Das hilft uns aber so auch nicht wirklich weiter, denn ein passendes Logarithmengesetz gibt es da nicht. Das verwerfen wir also besser wieder. Vielleicht gibt es hier irgendeinen Kniff, wenn ja, dann sehe ich ihn leider nicht. Was aber funktioniert, ist eine Substitution. Dabei helfe ich etwas weiter:

$\begin{eqnarray*} 12 =e^{100c}+e^{-100c} \end{eqnarray*}$

Das nun ein klein wenig umschreiben (Potenzgesetze):

$\begin{eqnarray*} 12 =e^{100c}+\frac{1}{e^{100c}} \end{eqnarray*}$

Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} t = e^{100c} \end{eqnarray*}$ kann man das lösen. Danach Rücksubstitution und man hat den Wert für c gefunden. Der Wert für a ist dann auch schnell erledigt.

18.01.2010, 22:39

Kathz

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RE: Funktion nach a & c auflösen
Im Grunde ist dann also

t = 12

18.01.2010, 22:41

Mulder

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RE: Funktion nach a & c auflösen
Hmm? Weißt du, was eine Substitution ist? Erst mal einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 12 = t + \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$

Jetzt auf beiden Seiten mit t multiplizieren, das führt dann zur Anwendung der pq-Formel. Danach rücksubstituieren.

18.01.2010, 22:54

Kathz

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RE: Funktion nach a & c auflösen
$\begin{eqnarray*} x1 = 11 v. x2 = 0 \end{eqnarray*}$

stimmt das den wenigstens?

18.01.2010, 22:58

Mulder

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RE: Funktion nach a & c auflösen
Nein.

Bist du denn wohl mit der pq-Formel daran gegangen, so wie ich empfohlen hatte?

18.01.2010, 23:02

Kathz

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RE: Funktion nach a & c auflösen
ja.

Ich kriege das gerade mit der latex form nicht hin. Ich schreibe dir das mal auf

12t = t² + t | -12t
0 = t² -11t

ist die p/q formel hier eig. effektiv?

0 = t ( t-11)
0 =t v. t = 11

Moah ich weiß leider gar nicht mehr, was ich alles falsch mache -.-

18.01.2010, 23:06

Mulder

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RE: Funktion nach a & c auflösen

Zitat:

Original von Kathz
12t = t² + t

Da steckt schon ein Fehler drin.

$\begin{eqnarray*} 12 = t + \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$

Jetzt auf beiden Seiten mit t multiplizieren liefert (beim letzten Summanden ganz rechts hast du den Fehler gemacht):

$\begin{eqnarray*} 12t = t^2+1 \end{eqnarray*}$

Denn t/t= 1 Augenzwinkern

Stell das jetzt nochmal um und dann pq-Formel. So macht die pq-Formel dann auch Sinn.

18.01.2010, 23:11

Kathz

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RE: Funktion nach a & c auflösen
Ja ok. Ich sag dazu lieber nichts mehr.

Nun dann habe ich

t1 = 6+ wurzel aus 35 t2 = 6 - wurzel aus 35

Bitte sag, dass es richtig ist.

18.01.2010, 23:16

Mulder

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RE: Funktion nach a & c auflösen
Ja, das ist richtig. smile

Jetzt fehlt noch die Rücksubstitution.

Wir hatten gesetzt: $\begin{eqnarray*} t = e^{100c} \end{eqnarray*}$

Löse das nun noch nach c auf und setze dann die durch die pq-Formel erhaltenen Werte für t ein.

18.01.2010, 23:23

Kathz

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RE: Funktion nach a & c auflösen
Gut. Mal was richtig.

Ja dann habe ich

e hoch 100c = t | ln

100c = ln(t) | -100

c = ln (t1) -100

c = ln (6+ wurzel aus 35) -100

c = ca. - 97,522
-> fällt ja im grunde weg, da c > null sein soll

oder

c = ln (t2) -100

c = ln (6- wurzel aus35) -100

c = ca. -102, 48

-> das fällt auch weg.

Hm.. ich habe wieder ein Fehler eingebaut, denn ich gerade nicht entdecken kann

18.01.2010, 23:25

Mulder

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RE: Funktion nach a & c auflösen

Zitat:

Original von KathzHm.. ich habe wieder ein Fehler eingebaut, denn ich gerade nicht entdecken kann

Dann zeige ich ihn dir:

Zitat:

Original von Kathz
100c = ln(t) | -100

Hier musst du natürlich durch 100 teilen. Links steht ja ein Produkt.

18.01.2010, 23:30

Kathz

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RE: Funktion nach a & c auflösen
ja dann

c = ln(t1)/ 100
c= ca. 0.02478

oder

c = ln (t2)/100

c= ca -0,02478

-> das fällt aber weg

somit habe ich für c = 0,02478 raus

18.01.2010, 23:38

Mulder

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RE: Funktion nach a & c auflösen
Damit bin ich einverstanden. smile

Jetzt hast du den richtigen Wert für c gefunden. Ich würde aber für die Beantwortung dieser Teilaufgabe ruhig bei dem exakten Wert bleiben (der gerundete geht auch, aber den exakten finde ich persönlich schöner):

$\begin{eqnarray*} c= \frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100} \end{eqnarray*}$

Den Wert für a kann man nun ganz leicht finden, denn wir hatten ja schon rausgefunden:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{c}=5 \, \, \Rightarrow \, \, a =5c \end{eqnarray*}$

18.01.2010, 23:42

Kathz

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RE: Funktion nach a & c auflösen
Ja das wären dann
ca. 0,12389
aber wenn man es exakt haben will ist es

5 * ln(6+ wurzel aus 35)/ 100

Boah vieeeeelen vieeelen Dank. Ich kann das gar nicht in Worte ausdrücken.
Überhaupt, dass du soviel Geduld mit mir hattest.
Nochmals Dankeschön

18.01.2010, 23:46

Mulder

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RE: Funktion nach a & c auflösen
Da kann man jetzt natürlich auch noch a kürzen:

$\begin{eqnarray*} c= \frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a= \frac{\ln(6+\sqrt{35})}{20} \end{eqnarray*}$

Das war's. Im Grunde eine gute Übungsaufgabe, weil hier viele Themenbereiche angeschnitten und benötigt wurden. Kann nicht schaden, dass du durchgehalten und sie bis zu Ende gerechnet hast. Teilweise war sie auch etwas kniffliger. Zumindest für eine Schulaufgabe, finde ich.

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