Rechteckverfahren vs Trapezverfahren

19.01.2010, 18:19

Thorben4

Rechteckverfahren vs Trapezverfahren

Hallo,
ist das Rechteckverfahren (gemeint ist das Mittelpunktverfahren) für jede stetige Funktion genauer als das Trapezverfahren?
Wenn ja ist das durch die Fehlerabschätzung bewiesen oder nicht.
Wenn nicht, könnte mir dann jemand bitte ein Beispiel nennen, bei der das Trapezverfahren genauer ist.

19.01.2010, 19:17

tigerbine

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Fehlerabschätzungen
Trapez:

$\begin{eqnarray*} n=1:\qquad |I(f)-I_1(f)|\leq \frac{(b-a)^3}{12}\cdot \max_{x \in[a,b]}~|f^{(2)}(x)| \end{eqnarray*}$

Rechteck:

$\begin{eqnarray*} n=0:\qquad |I(f)-I_0(f)|\leq \frac{(b-a)^3}{24}\cdot \max_{x \in[a,b]}~|f^{(2)}(x)| \end{eqnarray*}$

und [WS] Numerische Integration - Beispiele

Von daher würde ich sagen, dass man sich schon ein Beispiel konstruieren kann, in dem Rechteck besser ist. In der exakten Schreibweise des Fehlers weiß man halt i.A. nicht, wo $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ im Intervall [a,b] liegt.

code:

1:
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20:

Trapezregel, n=1
----------------
f(a)= exp(0)
f(b)= exp(3)
 
IT=(b-a)/2 * (f(a)+f(b))
  =([3]-[0])/2 * ([1]+[20.0855]) 
  =31.6283 

Mittelpunktsregeln, n=0
-----------------------
f((a+b)/2)= exp(1.5)
 
IM=(b-a) * f((a+b)/2)
  =([3]-[0]) * [4.48169] 
  =13.4451 

exp(3)-exp(0)
ans =
   19.0855

Ein umgekehrtes Beispiel habe ich nicht parat. Bei der Fehlerformel kommt es darauf an, ob das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ in beiden Fällen identisch ist. Das müsstest du mit deinen Unterlagen absichern. Dann kannst du verallgemeinern. Ansonsten nicht.

Guck mal ob in dieser Vorlesung was drüber gesagt wird: http://u-003-stimms02.uni-tuebingen.de/L...spx?clist=10078$2031

19.01.2010, 19:33

Thorben4

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Ich suche eins in dem Trapez besser ist, aber ich nehme an, dass du dich verschrieben hast, denn bei deinem Beispiel zu $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ ist das Rechteckverfahren besser. $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ sollte für beide gleich sein nehme ich an.

19.01.2010, 19:38

tigerbine

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Nein, nicht verschrieben. Ich sagte, ein umgekehrtes Bsp. habe ich nicht. Vermutung: Es gibt es auch nicht, wegen $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ . Aber sicher kann ich das im Moment nicht sagen. Augenzwinkern

19.01.2010, 19:41

Thorben4

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Gut. Danke für die Hilfe und den Link zum Video, werde es mir mal anschauen.
MfG.

19.01.2010, 19:52

tigerbine

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Bitte.Wenn du auf einen Beweis stößt, teil es uns doch bitte mit. Danke und viel Erfolg. Wink

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