untere Dreiecksmatrix

19.01.2010, 19:45

Sete

untere Dreiecksmatrix

Aufgabe 4.

Sei $\begin{eqnarray*} A=(a_{i,j} \in GL(n,K) \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass A genau dann eine untere Dreiecksmatrix ist, wenn $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ eine untere Dreiecksmatrix ist. Bestimmen sie in diesem Fall die Elemente auf der Hauptdiagonalen $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Ich betrachte das jetzt mal für eine nxn Matrix.

Also unsere Matrix $\begin{eqnarray*} A = a_{i =\left\{1,...n,\right\},j=\left\{1,...,n\right\}} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} i > j \Rightarrow a_{i,j} = 0 \end{eqnarray*}$ da es ja eine untere Dreiecksmatrix sein soll.

So, da $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ . ja auch eine untere Dreiecksmatrix sein soll, muss das Produkt von $\begin{eqnarray*} A*A^{-1} \end{eqnarray*}$ ja auch wieder eine obere Dreiecksmatrix sein.

$\begin{eqnarray*} C = A * A^{-1} = c_{i,j} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ das wir zeigen müssen, $\begin{eqnarray*} a_{i,i} = 0 \forall i \end{eqnarray*}$

das ist aber noch nicht ganz richtig^^ bzw wenns überhaupt ansatzweise richtig ist.
Der nächste Schritt wäre zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ eine untere Dreicksmatrix ist. Anschließend würde ich "versuchen" zu zeigen, das C eine untere Dreiecksmatrix ist. Über Induktion oder so :P
Naja ein Schritt nach dem anderen. Kann man mit dem Ansatz was anfangen oder bin ich absolut auf dem Holzweg?
MfG

19.01.2010, 20:23

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Es reicht bei diesem Beweis völlig aus nur eine Richtung zu zeigen. Mit einem geschickten Trick nämlich. Sei A untere Dreiecksmatrix, und nehmen wir an Du hast bereits gezeigt das dann auch $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ eine untere Dreiecksmatrix ist. Diesen Satz kannst Du dann natürlich auf

$\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A^{-1})^{-1} = A \end{eqnarray*}$

anwenden. Daher reicht eine Richtung völlig. Was den Beweis angeht :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} * X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0& 1 & 0 \\ 0 & 0& 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt von oben nach unten aufdröseln. Dann für allgemeine n formulieren!

19.01.2010, 20:52

Sete

Auf diesen Beitrag antworten »

Super danke smile

20.01.2010, 17:37

Mathemaus29

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ich habe die Aufgabe auch. Auch den Ansatz mir ähnlich gedacht?
Aber wie löst du das auf?

20.01.2010, 17:49

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte die erste Zeile von X. Es soll A*X = I sein, sprich

$\begin{eqnarray*} (AX)_{11} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (AX)_{1j} = 0 \end{eqnarray*}$ für alle j.

Wir wissen das die erste Zeile von A überall Nullen hat bis auf die erste Stelle. Das heisst die erste Zeile von AX sieht so aus :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A_{11}X_{11} & A_{11}X_{12} & ... & A_{11}X_{1n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt wissen wir das diese Zeile gleich der ersten Zeile der Einheitsmatrix sein soll, also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A_{11}X_{11} & A_{11}X_{12} & ... & A_{11}X_{1n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir wissen das $\begin{eqnarray*} A_{11} \neq 0 \end{eqnarray*}$ (warum wissen wir das? ), was muss daher für $\begin{eqnarray*} X_{1j} \end{eqnarray*}$ gelten?

20.01.2010, 18:15

Mathemaus29

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, irgendwie steh ich noch ein bischen auf dem Schlauch. Aber:
Es müsste ja für $\begin{eqnarray*} X_1, _j = 0 \end{eqnarray*}$ sein, damit die erste Zeile von A überall Nullen hat bis auf an der ersten Stelle: an dieser Stelle müsste es ja das inverse zu A sein, damit gilt $\begin{eqnarray*} AX_1, _1 =1 \end{eqnarray*}$ .

20.01.2010, 18:21

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau, $\begin{eqnarray*} X_{11} = \frac{1}{A_11} \end{eqnarray*}$ , die restlichen Einträge sind Null. Gehen wir zur zweiten Zeile, weil wir wissen wie die erste Zeile aussieht folgt für die zweite Zeile von

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A_{21}X_{11} + A_{22}X_{21} & A_{21}*0 + A_{22}X_{22} & A_{21}*0 + A_{22}X_{23} & ... & A_{21}*0 + A_{22}X_{2n}& \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & ... & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und stellst Du was fest? Wie kann man damit eine allgemeine Form für die k-te Zeile von X gewinnen?

20.01.2010, 18:32

Mathemaus29

Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss hier $\begin{eqnarray*} X_2, _2=\frac{1}{A_2, _2} \end{eqnarray*}$ gelten?

Gilt also für $\begin{eqnarray*} X_i, _j i=j \end{eqnarray*}$ dann ist an dieser Stelle $\begin{eqnarray*} X_i, _j=\frac{1}{A_i, _j} \end{eqnarray*}$ bzw ist dann $\begin{eqnarray*} a_i, _j = 0 , \forall i\neq j \end{eqnarray*}$ .

Wie schreibe ich das aber nun formal richtig auf, also als Formel?

21.01.2010, 11:06

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Also muss hier $\begin{eqnarray*} X_2, _2=\frac{1}{A_2, _2} \end{eqnarray*}$ gelten?

Ja, das ist korrekt.

Zitat:

Gilt also für $\begin{eqnarray*} X_i, _j i=j \end{eqnarray*}$ dann ist an dieser Stelle $\begin{eqnarray*} X_i, _j=\frac{1}{A_i, _j} \end{eqnarray*}$ bzw ist dann $\begin{eqnarray*} a_i, _j = 0 , \forall i\neq j \end{eqnarray*}$ .

Das ist falsch. Richtig wäre :

$\begin{eqnarray*} A_{ij} = 0 , \forall i < j \end{eqnarray*}$

Aber das ist die Aussage die Du zeigen willst. Zeige das die k-te Zeile gerade von der Form :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^kA_{ki}X_{ik} & \sum_{i=2}^{k}A_{ki}X_{ik} & ... & A_{kk}X_{kk} & 0 & .... & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist.

Neue Frage »

Antworten »

untere Dreiecksmatrix

Verwandte Themen