Eigenwerte und charakteristisches Polynom

20.01.2010, 14:31

DOZ ZOLE

Eigenwerte und charakteristisches Polynom

Hallo,
ich sitze gerade an dieser aufgabe:

Zitat:

gegeben seien der vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\leq 2}\left[x\right] \end{eqnarray*}$ , die lineare abbildung $\begin{eqnarray*} L:\mathbb R_{\leq 2}\left[x\right] \rightarrow \mathbb R_{\leq 2}\left[x\right] \end{eqnarray*}$ , sowie die folgenden bilder von L:

$\begin{eqnarray*} L\left(x^2+x\right)=x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L\left(x+1\right)=5x+5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L\left(x^2+1 \right)=-x^2-1 \end{eqnarray*}$

(i) bestimmen sie die eigenwerte und die zugehörigen eigenräume der linearen abbildung L.

(ii) bestimmen sie die darstellende matrix $\begin{eqnarray*} L_B \end{eqnarray*}$ von L bzgl. der Basis $\begin{eqnarray*} B=\left\{x^2+x, \ x+1, \ x^2+1\right\} \end{eqnarray*}$

(iii) bestimmen sie das charakteristische polynom von L

(iv) ist L eine injektive/surjektive/bijektive abbildung?

ich hab bisher folgendes raus:

(i)
Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_i , \ i=\left\{1,2,3\right\} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \lambda_1\left(x^2+x\right)=x+1 \Leftrightarrow \lambda_1=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2\left(x+1\right)=5x+5 \Leftrightarrow \lambda_2=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_3\left(x^2+1\right)=-x^2-1 \Leftrightarrow \lambda_3=-1 \end{eqnarray*}$

Eigenräume $\begin{eqnarray*} V_{\lambda_i} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} V_{\lambda_1}=\left\{ \vec{x} \mid \vec{x} \in \mathbb R_{\leq 2}\left[x\right], \ L\left(\vec{x} \right)=\frac{1}{x}\vec{x} \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_{\lambda_2}=\left\{ \vec{x} \mid \vec{x} \in \mathbb R_{\leq 2}\left[x\right], \ L\left(\vec{x} \right)=5 \vec{x} \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_{\lambda_3}=\left\{ \vec{x} \mid \vec{x} \in \mathbb R_{\leq 2}\left[x\right], \ L\left(\vec{x} \right)=- \vec{x} \right\} \end{eqnarray*}$

(ii)
$\begin{eqnarray*} K_B \end{eqnarray*}$ sei die koordinatenabbildung bzgl. der basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} K_B\left(x^2+x\right)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ , \ K_B\left(x+1\right)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow L_B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_B\left(x+1\right)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \ , \ K_B\left(5x+5\right)=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow L_B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_B\left(x^2+1\right)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \ , \ K_B\left(-x^2-1\right)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \Rightarrow L_B \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow L_B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(iii)
$\begin{eqnarray*} p_L\left(z\right)=det\left[L_B-z\cdot I_3\right] =det\left[\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} z & 0 & 0 \\ 0 & z & 0 \\ 0 & 0 & z \end{pmatrix} \right] =\begin{vmatrix} -z & 0 & 0 \\ 1 & 5-z & 0 \\ 0 & 0 & -z-1 \end{vmatrix}=z\left(z+1\right)\left(5-z\right) \end{eqnarray*}$

Meine frage ist nun ob das bisher soweit richtig ist. ich zweifle vorallem an dem charakteristischen polynom weil ja die eigenwerte die nullstellen des charakteristischen polynoms sind aber mein $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ keine nullstelle ist.

MfG
DOZ ZOLE

20.01.2010, 14:43

klarsoweit

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RE: Eigenwerte und charakteristisches Polynom

Zitat:

Original von DOZ ZOLE
$\begin{eqnarray*} \lambda_1\left(x^2+x\right)=x+1 \Leftrightarrow \lambda_1=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Das ist Unfug. Die Eigenwerte bestimmst du über die darstellende Matrix der Abbildung (hast du ja dann auch gemacht.). Jetzt mußt du zu jedem Eigenwert den Eigenraum bestimmen.

20.01.2010, 17:24

DOZ ZOLE

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für die eigenwerte gilt doch: $\begin{eqnarray*} A\vec{x} =\lambda \vec{x} \end{eqnarray*}$ wobei A eine lineare abbildung ist und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ der eigenwert oder?

und wie soll ich eigenräume bestimmen?

20.01.2010, 19:42

El_Snyder

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE
für die eigenwerte gilt doch: $\begin{eqnarray*} A\vec{x} =\lambda \vec{x} \end{eqnarray*}$ wobei A eine lineare abbildung ist und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ der eigenwert oder?

und wie soll ich eigenräume bestimmen?

Deine Gleichung ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} (A- \lambda I_n) \vec{x} = 0 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ die n-dimensionale Einheitsmatrix ist. Hast du dadurch die Eigenwerte berechnet, setzt du diese nacheinander oben wieder ein und löst das jeweils homogene Gleichungssystem, dessen Lösungen den Eigenraum des jeweiligen Eigenvektors bilden.

20.01.2010, 20:00

DOZ ZOLE

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aber ich kenne ja keine matrix für die abbildung. ich kenne nur 3 bilder und die darstellende matrix $\begin{eqnarray*} L_B \end{eqnarray*}$ von L. also kann ich doch sie die eigenwerte garnicht berechnen. oder seh ich das falsch?

21.01.2010, 10:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE
ich kenne nur 3 bilder und die darstellende matrix $\begin{eqnarray*} L_B \end{eqnarray*}$ von L.

Und von dieser Matrix kannst du die Eigenwerte bestimmen.

21.01.2010, 17:52

DOZ ZOLE

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und da wäre denn der ansatz: $\begin{eqnarray*} \left(L_B-\lambda I_3 \right)\vec{x}=0 \end{eqnarray*}$ oder?

allerdings soll ich ja die eigenwerte bestimmen bevor ich $\begin{eqnarray*} L_B \end{eqnarray*}$ berechne, kenne also $\begin{eqnarray*} L_B \end{eqnarray*}$ noch nicht zu dem zeitpunkt wo die eigenwerte zu bestimmen sind.

22.01.2010, 08:24

klarsoweit

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Dann mußt du die Abbildungsmatrix bezüglich der kanonischen Basis nehmen.

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