Nilpotente Matrizen

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20.01.2010, 16:06	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nilpotente Matrizen Hallo! Hab mal eine Frage zu meiner Aufgabe, da ich mir nicht ganz sicher bin, ob ich da auf dem richtigen Weg bin. Also: Eine Matrix A (n x n, IR) heißt nilpotent, wenn es ein $\begin{eqnarray} k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray} A^{k} = 0 \end{eqnarray}$ ist. a) Seien A, B nilpotente Matrizen. Ist dann auch A+B nilpotent? b) Zeige: Sind A,B nilpotent und AB = BA, dann ist auch A+B nilpotent. Bei a) habe ich mir überlegt, dass ich ja weiß, dass det A = det B = 0 ist und spur A = spur B = 0. Somit wüsste ich ja schonmal, dass spur(A+B) = 0, da ja auf der Diagonalen nur 0 stehen. Aber daraus folgt ja nicht, dass det auch 0 ist. Muss ich da vielleicht eine Fallunterscheidung machen, ob k = l ist, wenn $\begin{eqnarray} B^{l} \end{eqnarray}$ = 0? Bei b) weiß ich ja, dass detA = detB=0 ist und somit auch detAB =det A mal det B = 0, det BA = 0 usw. Hilft mir das dann weiter? Danke schonmal für eure Hilfe! Liebe Grüße
20.01.2010, 16:16	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst für Teil a) ein Gegenbeispiel ohne größere Schwierigkeiten finden. Versuchs mal mit 2x2 Matrizen. Zu Teil b) : Schreib dir mal $\begin{eqnarray} (A + B)^3 \end{eqnarray}$ hin, und benutzte $\begin{eqnarray} AB = BA \end{eqnarray}$ , dann siehst Du wie der Hase läuft.
20.01.2010, 16:44	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, erstmal danke für den Tipp, a habe ich schon hinbekommen zu b), ich habe jetzt $\begin{eqnarray} (A+B)^{3} = A^{3} + B^{3} + 3AB (A+B) = A^{3} + B^{3} + 3BA (A+B) \end{eqnarray}$ aufgelöst, aber so richtig sehe ich da nichts...
20.01.2010, 16:53	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde es noch weiter ausmultiplizieren : $\begin{eqnarray} (A + B)^3 = A^3 + 3A^3B + 3AB^2 + B^3 \end{eqnarray}$ Du könntest jetzt nochmal mit (A + B) multiplizieren, das wäre dann : $\begin{eqnarray} A^4 + 4 A^3B + 6A^2B^2 + 4AB^3 + B^4 \end{eqnarray}$ (Ich hoffe ich hab mich da nicht verrechnet). Was man sieht ist das die Potenzen immer weiter steigen. Irgendwann kommt man bei den Potenzen an wo die Matrizen Null werden, und viel fliegt raus. Das kann man allgemein mit dem Binomischen Lehrsatz formulieren.
20.01.2010, 17:11	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann habe ich: $\begin{eqnarray} (A+B)^{n} = \sum\limits_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} A^{n-k} B^{k} \end{eqnarray}$ und weil A und B ja irgendwann 0 werden, wird dann eben der gesamte Ausdruck = 0. Darf ich das so begründen?
20.01.2010, 17:19	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst schon etwas mehr machen. Versuche mal die Summe geschickt aufzuteilen. Du weisst ja das $\begin{eqnarray} A^p = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B^q = 0 \end{eqnarray}$ . Den Binomischen Lehrsatz darfst Du übrigens nur verwenden, weil die Matrizen kommutieren.
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20.01.2010, 17:58	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, wenn p größer als q ist, hätte ich das jetzt in 3 Summen aufgespalten, aber dann hab ich trotzdem eine, bei der ich nicht weiß, ob sie = 0 werden kann..
20.01.2010, 18:01	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst doch nur ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ finden, für das $\begin{eqnarray} (A + B)^n = 0 \end{eqnarray}$ ist. Probiers mal mit $\begin{eqnarray} n = p + q \end{eqnarray}$ und Spalte die Summe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^nA^kB^{n-k} \end{eqnarray}$ geeignet auf.
20.01.2010, 18:18	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich kann es schreiben als: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^p \begin{pmatrix} p \\ k \end{pmatrix} A^{k}B^{p-k} + \sum\limits_{p+1}^q \begin{pmatrix} q \\ p+1\end{pmatrix} A^{p+1}B^{q-p-1} \end{eqnarray}$ Da weiß ich bei dem rechten Summanden schonmal, dass er 0 ist, da da ja ein A hoch p+1 steht, und A^p soll ja schon 0 sein.
20.01.2010, 18:24	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Summe geht von 0 los. Was den ersten Summanden angeht : wenn $\begin{eqnarray} k < p \end{eqnarray}$ was ist dann $\begin{eqnarray} n - k \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} n = p + q \end{eqnarray}$ ? Edit: Achte auf ein korrektes Hinschreiben der Summen, da sind einige Fehler. Edit 2: Da sind ja so viele Fehler ich schreibe dir den Schritt mal hin : $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} A^kB^{n-k} = \sum_{k=0}^{p}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} A^kB^{n-k} + \sum_{k=p+1}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} A^kB^{n-k} \end{eqnarray}$ n hängt doch nicht von k ab, daher ändert sich doch nicht für die Binomialkoeffizienten.
20.01.2010, 18:32	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist dann > q und damit wird dann B 0
20.01.2010, 18:33	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, aber achte auf meinen Edit.
20.01.2010, 18:36	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke...jetzt hab ichs...

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