Anzahl der Sylowgruppen

20.01.2010, 16:49

schmouk

Anzahl der Sylowgruppen

Hallo,

habe hier folgendes Beispiel

Zitat:

$\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ Gruppe mit $\begin{eqnarray*} |G|=30 \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} 30=2\cdot 3\cdot 5 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} s_2\in\{1,3,5,15\},\quad s_3\in\{1,10\},\quad s_5\in\{1,6\} \end{eqnarray*}$

Warum jeweils immer min. 1 ist klar.
Warum jeweils die größtmögliche Anzahl $\begin{eqnarray*} \frac{30}{2}\text{bzw.}\frac{30}{3}\text{bzw.}\frac{30}{5} \end{eqnarray*}$ ist, ist auch klar.

Dass ich argumentieren kann, die Anzahl z.B. der 2-Sylowgruppen $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ muss mit $\begin{eqnarray*} s_2\, mod\, 2 = 1 \end{eqnarray*}$ sein, und 30 teilen, und man dann dadurch ausschließen kann ob's sein kann oder nicht, krieg ich auch noch auf die reihe.

Aber gibt es da nicht vielleicht noch einen direkteren Weg um das herauszufinden??

Grüße,

Schmouky

20.01.2010, 17:45

Reksilat

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RE: Anzahl der Sylowgruppen
Wie soll denn das direkter gehen? Du hast eine Gruppe ohne jegliche Struktur gegeben. Allein aus der Gruppenordnung lässt sich eigentlich kaum etwas ablesen und was der Sylowsatz aussagt ist doch schon richtig viel. Ist Dir der Rechenweg hier etwa zu aufwendig? verwirrt

Gruß,
Reksilat.

20.01.2010, 18:00

schmouk

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RE: Anzahl der Sylowgruppen
Ich schaff's nur nicht mit den Sylowsätzen analog zu zeigen, dass allgemein gilt, Gruppen mit Ordnung $\begin{eqnarray*} pqr \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p<q<r \end{eqnarray*}$ Primzahlen haben eine normale Sylowgruppe.

20.01.2010, 18:08

Reksilat

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RE: Anzahl der Sylowgruppen
Wie viele Sylow-Untergruppen kann es denn jeweils geben? Was hast Du über diese Anzahl denn bis jetzt herausgefunden?
(Erst mal alles was der Sylowsatz hergibt sammeln, der Rest ist Zahlentheorie und Abzählen von Elementen.)

20.01.2010, 18:30

schmouk

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Es geht darum folgendes Lemma zu zeigen:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} p<q<r \end{eqnarray*}$ Primzahlen. Ist $\begin{eqnarray*} |G|=p^2q \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} |G|=pqr \end{eqnarray*}$ , so hat $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine normale Sylowgruppe.

Check's nich.

Ich dachte, ich nehme an, dass die Anzahl von der jeweiligen Sylowguppen, also z.B. die Anzahl der p- und der q- Sylowgruppen größer 1 sind (also $\begin{eqnarray*} s_p>1 \text{und} s_q>1 \end{eqnarray*}$ ) und führe das über die Anzahl der in G maximal enthaltenen Elemente zu einem Widerspruch.

Dann ist $\begin{eqnarray*} s_p=1\text{oder} s_q=1 \end{eqnarray*}$ und damit hätte ich meine normale Sylowgruppe.

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Ich habe im Fischer einen ähnlichen Beweis gefunden.

Er betrachtet zwei Primzahlen p,q mit p<q und eine Gruppe G von Ordnung pq.

Dann macht er eine Fallunterscheidung (will wohl zeigen dass G zyklisch ist)

der erste Fall: G ist zyklisch, wenn p teilt nicht (q-1)
der zweite Fall: p teilt (q-1) (und dann eben dass auch dann G zyklisch ist)

Im ersten Fall zeigt er - halt unter Vor. dass p teilt nicht (q-1) - dass $\begin{eqnarray*} s_q=s_p=1 \end{eqnarray*}$ , das würde mir ja scho helfen.

aber ich verstehe schon die Fallunterscheidung nicht. Wieso ausgerechnet (q-1)?
Wieso decken die beiden Fälle alles ab?

Vieleicht erstmal soviel? Checks grad gar nicht. Was sollte ich mir denn nochmal reinziehen?

Vielleicht noch wichtig: Er schreibt

Zitat:

Nach Sylow gilt $\begin{eqnarray*} s_p | q\text{und} s_p=1+kp, s_q | p\text{und} s_q=1+lq. \end{eqnarray*}$

Wie folgert man das aus den Sylowsätze. Steh voll auf'm Schlauch.

Grüße,

Schmouky

20.01.2010, 18:39

Reksilat

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Zitat:

Original von schmouk
Vielleicht noch wichtig: Er schreibt

Zitat:

Nach Sylow gilt $\begin{eqnarray*} s_p | q\text{und} s_p=1+kp, s_q | p\text{und} s_q=1+lq. \end{eqnarray*}$

Das ist eben die Aussage der Sylowsätze. Es gibt da verschiedene Formulierungen aber im Grunde sind die alle gleich.

Da ich aber auf ein Herumgespringe zwischen verschiedenen Aufgaben und Beweisen keine Lust habe, möchte ich auf meine Anregung von vorhin aufmerksam machen und vor allem die Konzentration auf die eigentliche Aufgabe legen:

Zitat:

Wie viele Sylow-Untergruppen kann es denn jeweils geben? Was hast Du über diese Anzahl denn bis jetzt herausgefunden?

Immerhin kennst Du die Sylowsätze. Damit solltest Du jetzt schon ein wenig was anfangen können.

21.01.2010, 21:04

schmouk

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Zitat:

Wie viele Sylow-Untergruppen kann es denn jeweils geben? Was hast Du über diese Anzahl denn bis jetzt herausgefunden?

Ich bin immer noch dabei... Also bisher sieht es so aus:

Vor: p<q<r Primzahlen
Beh: Ist G Gruppe, |G|=pqr oder |G|=p^2r, so gilt: G hat eine normale Sylowgruppe.
Bew:

Nach Sylow gilt 1. $\begin{eqnarray*} s_p|qr, s_q|pr, s_r|pq \end{eqnarray*}$

und 2. $\begin{eqnarray*} s_p=1+kp, s_q=1+lq, s_r=1+mr\quad; k\geq 0, l\geq 0, m\geq 0, k,l,m\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} s_p|qr \Rightarrow s_p\in\{1,q,r,qr\} \end{eqnarray*}$ , da p,r Primzahlen
Analog gilt $\begin{eqnarray*} s_q\in\{1,p,r,pr\}, s_r\in\{1,q,p,qp\} \end{eqnarray*}$

Wäre weiter $\begin{eqnarray*} s_r=p \end{eqnarray*}$ so wäre nach 2. p=1+mr also p-1=mr und das ist Wid. zu p<r - Also $\begin{eqnarray*} s_r\neq p \end{eqnarray*}$

Analog folgt $\begin{eqnarray*} s_r\neq q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_q\neq p \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} s_p\in\{1,q,r,qr\}, s_q\in\{1,r,pr\}, s_r\in\{1,qp\} \end{eqnarray*}$

angenommen $\begin{eqnarray*} s_p>1 \wedge s_q>1 \wedge s_r>1 \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} s_p\geq q, s_q\geq r\,\text{und}\, s_r=pq \end{eqnarray*}$

Also gäbe es mehr als $\begin{eqnarray*} r(q-1) \end{eqnarray*}$ Elemtente der Ord. q
$\begin{eqnarray*} pq(r-1) \end{eqnarray*}$ Elemente der Ord. r
mehr als $\begin{eqnarray*} q(p-1) \end{eqnarray*}$ Elemente der Ord. p

Also insgesamt mehr als $\begin{eqnarray*} r(q-1)+pq(r-1)+q(p-1) \end{eqnarray*}$ Elemente in G.

da $\begin{eqnarray*} (rq-(r+q))\geq 0 \end{eqnarray*}$ aufgrund von p<r<q Primzahlen ist

$\begin{eqnarray*} r(q-1)+pq(r-1)+q(p-1)=(rq-(r+q))+pqr > pqr=|G| \end{eqnarray*}$ ,

Das ist ein Widerspruch und es folgt

$\begin{eqnarray*} s_p=1 \vee s_q=1 \lor s_r=1 \end{eqnarray*}$

also mindestens eine Sylowgruppe ist normal.

Stimt das so?

22.01.2010, 10:48

Reksilat

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Zitat:

Also gäbe es mehr als $\begin{eqnarray*} r(q-1) \end{eqnarray*}$ Elemtente der Ord. q
$\begin{eqnarray*} pq(r-1) \end{eqnarray*}$ Elemente der Ord. r
mehr als $\begin{eqnarray*} q(p-1) \end{eqnarray*}$ Elemente der Ord. p

Also insgesamt mehr als $\begin{eqnarray*} r(q-1)+pq(r-1)+q(p-1) \end{eqnarray*}$ Elemente in G.

Statt "mehr als" muss hier "mindestens" stehen. Ein Verweis darauf, dass die Sylowgruppen immer Primzahlordnung haben und deshalb paarweise disjunkt sind, kann auch nicht schaden.

Zitat:

da $\begin{eqnarray*} (rq-(r+q))\geq 0 \end{eqnarray*}$ aufgrund von p<r<q Primzahlen ist

Du benötigst $\begin{eqnarray*} (rq-(r+q))> 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Stimt das so?

Stimmt so. Sehr schön! Freude