Darf ich Faktor vor Matrix ziehen?

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21.01.2010, 10:44	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Darf ich Faktor vor Matrix ziehen? Hallo, nur kurz 2 kleine Fragen Habe eine Matrix: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 2/3 & -1/3 & 2/3 \\ 2/3 & 2/3 & -1/3 \\ -1/3 & 2/3 & 2/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hier wird ja jeder Wert durch 3 geteilt. Wenn ich nun a) die Determinante berechne, kann ich doch einfach den Faktor 1/3 vor die Matrix ziehen, damit ich schöne gerade Werte erhalte. Wenn ich nun die Determinante nach Sarrus berechne, dürfte sich doch nichts ändern, richtig? Den Wert den ich mit Sarrus erhalte, muss ich auch nicht noch mit 1/3 multiplizieren oder? b) die Eigenwerte berechne, ebenfalls dann 1/3 vor die Klammer ziehe, die Determinante aufstelle und gleich 0 setze, muss ich dann das 1/3, das ich rausgezogen habe noch beachten? Oder kommt da beides mal das gleiche heraus an Eigenwerten? Habe nämlich mal obiges Beispiel durchgerechnet, und auch per PC durchrechnen lassen, und es kamen unterschiedliche Werte heraus, deshalb wollte ich mich nur vergewissern das man dass dann nicht darf... Gruß Physinetz
21.01.2010, 10:48	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Determinante ist multilinear, das heißt es gilt $\begin{eqnarray} \det(av_1,bv_2,cv_3)=abc\det (v_1,v_2,v_3),~a,b,c\in K,~ v_i\in V \end{eqnarray}$ . K ist der zugrundeliegende Körper, V der betrachtete Vektorraum. Damit solltest du deine Frage beantworten können.
21.01.2010, 11:33	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
das heißt ich muss die Determinante die da rauskommt noch mit 1/3 multiplizieren, richtig?
21.01.2010, 11:39	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm nochmal editiert, ich muss es wohl doch berücksichtigen, insbesondere beim charakteristischen Polynom, dort sollte ich nicht das 1/3 vorziehen? oder kann ich es vorziehen, das charakteristische polynom aufstellen, und ganz am Ende durch 3 teilen?
21.01.2010, 11:41	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, dh du muss bei der Determinante ein mal für jede Spalte 1/3 rausziehen. Schau dir genauer, was jester. schreibt, bei dir ist a=b=c=1/3.
21.01.2010, 11:44	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok, stimmt das habe ich total überfolgen, d.h. ich habe vorne den Vorfaktor 1/31/31/3=1/27 und mit dem muss ich dann meine Deterimante multiplizieren?
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21.01.2010, 11:46	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
jo
21.01.2010, 11:50	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
ok also für obige Matrix habe ich wenn ich a) ohne 1/3 herausziehen das charakteristische Polynom aufstelle: $\begin{eqnarray} -x^3 + 2x^2 - 2x + 1 \end{eqnarray}$ heraus b) mit herausziehen $\begin{eqnarray} -x^3 + 6x^2 - 18x + 20 \end{eqnarray}$ heraus, im Prinzip müsste ich dann doch noch bei "mit herausziehen" durch 27 teilen? aber da kommt dann ja was richtig krummes heraus...
21.01.2010, 11:58	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahm, für char.Poly. muss du nicht die Det. von A berechnen sondern A-xE. Dh du müsstest dann vorher 1/3 auch aus xE rausziehen.
21.01.2010, 12:31	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
jo genau, ich muss: $\begin{eqnarray} x(\lambda )= det(A-\lambda E_3) \end{eqnarray*}$ ausrechnen... ich glaube am einfachsten ist es hier dann wohl doch, mit den ganzen Brüchen zu rechnen anstatt jetzt überall 1/3 herauszuziehen?
21.01.2010, 13:01	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne du kannst einfach y=x/3 substituiren und kommst auf dieselbe Gleichung. Was du am Ende hast ist noch ein Faktor 3. $\begin{eqnarray} x(\lambda )= \det(\frac{1}{3}A-\lambda E_3)= \det(\frac{1}{3}A-\frac{1}{3}\lambda' E_3)= \frac{1}{27}\det(A-\lambda' E_3) \end{eqnarray}$ Nur ist $\begin{eqnarray} \lambda'=3\lambda \end{eqnarray*}$

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