Kurvendiskussionsaufgabe

21.01.2010, 22:17

Icega

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Kurvendiskussionsaufgabe

Edit (mY+): Keine dringenden Hilferufe! Wird entfernt!

Servus zusammen, hab grad ein dickes Problem mit ner Matheaufgabe und würd mich über ein bisschen Hilfe freuen. Die Aufgabe schaut so aus:

Für jedes t element R ist die funktion $\begin{eqnarray*} f_t \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f_t=t*x^4*2x^3-(t-2)x^2 \end{eqnarray*}$ . Das Schaubild von $\begin{eqnarray*} f_t \end{eqnarray*}$ heißt $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ .

a) Zeige: Es gibt Stellen, bei denen alle Kurven von $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ parallele Tangenten haben. Gib diese Stellen an.

b) Zeige: $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ besitzt für jedes t ungleich 2 zwei Tiefpunkte.

Vielen Dank schonma im Voraus an alle, die helfen wollen :]
mfg

21.01.2010, 23:35

Explo

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was genau ist dein problem?

21.01.2010, 23:49

Icega

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nja ich hab keine ahnung was ich da machen muss oder überhaupt wie rangehen

21.01.2010, 23:52

Rmn

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Wenn man nicht weiß, wo man anfangen soll, fängt man immer bei Definitionen an.
a) Zeige: Es gibt Stellen, bei denen alle Kurven von $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ parallele Tangenten haben. Gib diese Stellen an.
Was ist eine Tangente verwirrt

verwirrt

Formel)
Was heißt genau parallel verwirrt

verwirrt

Formel)
Wie kann man diese beide nun kombinieren?

21.01.2010, 23:54

Explo

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Naja fangen wir mal mit a) an.

Was wäre denn die Vorraussetzung dafür, dass alle Tangenten parrallel sind ( an den besagten stellen )

22.01.2010, 00:19

Icega

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ich hock nu glaub seit locker 1 1/2 stunden dran, kein plan un eure Hinweise bringen mich irgendwie net weiter .. bin aber au net unbedingt die mathe Leuchte =/

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22.01.2010, 00:21

Explo

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Was ist denn die allgemeine Formel einer Tangente?

22.01.2010, 00:37

Icega

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t(x) = f'(x0) * (x - x0) + f(x0) oder?

22.01.2010, 00:43

Explo

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Ich beantworte jetzt mal nur nach meinem Schulwissen (da wir im Studium grad erst mit Kurvendisku anfangen)

Ich wollte eigtl darauf hinaus, dass $\begin{eqnarray*} t(x) = mx +n \end{eqnarray*}$ ist.

Mehr oder weniger steht das ja bei dir. Nur möchte ich doch sehr anzweifeln, dass es $\begin{eqnarray*} + f(x_0) \end{eqnarray*}$ heissen muss.
Und, dass es $\begin{eqnarray*} (x-x_0) \end{eqnarray*}$ heissen muss.

$\begin{eqnarray*} t(x) = mx +n \end{eqnarray*}$ sollte dir ja bekannt sein oder? Wobei m dann der Anstieg ist, der wie du schon in deiner Formel hast:
$\begin{eqnarray*} m = f'(x) \end{eqnarray*}$

Wann sind Tangenten parrallel?

22.01.2010, 00:46

Icega

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jetzt versteh ich gar nichts mehr. sorry aber hast du nen definitiven lösungsweg? weil dann bitte verat ihn mir, bin mit meinen nerven echt am ende und morgen bei der klassenarbeit muss ich es unbedingt wissen.

22.01.2010, 00:51

Explo

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Du fragst um 22.17 etwas, was du unbedingt am nächsten Tag können musst?
Ein bisschen spät findest du nicht?

Und wie man im Boardprinzip nachlesen kann: (Komplett)Lösungen werden hier nicht gepostet.

Dein Weg wäre jetzt:
Was bedeutet parrallel?
Wie kann ich das auf meine Funktion anwenden?

22.01.2010, 01:02

Icega

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okay ich weiß ich bin verdammt spät dran aber das ändert eben absolut nix an meiner Situation; ich hab hier 3 Rechnungen liegen, die ich absolut nich versteh und alle bis morgen wissen muss. Un das da ist leider nur eine davon.

Das Board-Prinzip in allen Ehren aber bist du nicht der Meinung, dass man einem andern vielleicht mal aus ner misslichen Lage helfen kann? Ich könnt wetten dabei würdest du dir keinen abbrechen und offenbar weißt du ja wie's geht und ich halt net. Es wär schlicht und ergreifend ein Gefallen weil wenn ich den Rechenweg kenne, kann ich morgen in der Arbeit wenigstens ein paar Punkte holen.

Die von dir gepostete Tangentengleichung hab ich leider einfach (soweit ich es weiß) noch nie gesehen und die, die ich gepostet hab, hab ich eben vorher online gefunden.

Also lange Rede kurzer Sinn: ich bitte dich drum einfach mal ne Ausnahme zu machen weil ich leider in 5 Stunden wieder aufstehn muss und auch so noch ne Menge Arbeit vor mir hab. Ganz ungeachtet dessen, dass ich eben spät dran bin und offensichtlich noch keine großartige Ahnung von der Materie hab.

mfg

22.01.2010, 01:28

Explo

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Aber du wirst doch lineare Funktion kennen oder?

$\begin{eqnarray*} f(x) = mx +n \end{eqnarray*}$

Weil, wenn man nichtmal die kennt frag ich mich allen ernstes, wie man es bis zu Kurvendiskusionen schaffen will.

Ich werd dir dann mal so gut es geht (und ichs kann) den weg beschreiben. Rechnen musst du dann alleine Augenzwinkern

Augenzwinkern

(solange ich wach bin kann ich dann auch gerne Rechnungen überprüfen bzw. würde es dann auch morgen noch tun)

a) Zeige: Es gibt Stellen, bei denen alle Kurven von $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ parallele Tangenten haben. Gib diese Stellen an.

Das heisst: Das es Stellen gibt, bei denen alle Kurven den gleichen Anstieg haben. Der Anstieg einer Funktion (an einer Stelle) ist: $\begin{eqnarray*} f_t'(x_0) = m \end{eqnarray*}$ .

Nun soll dieses m für alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gleich sein(an der jeweiligen Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . das heisst also, dass die Ableitung unabhängig von t sein muss.

Nun sollst du die Stellen ( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ) angeben an denen die 1. Ableitung unabhängig von t ist. bzw. Zeigen, dass an diesen Stellen die 1. Ableitung unabhängig von t ist.

22.01.2010, 01:50

Icega

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RE: Kurvendiskussionsaufgabe
okay ich versuchs. Übrigens hab ich da oben grade en Schreibfehler entdeckt, die Gleichung muss so heißen: $\begin{eqnarray*} f_t=t*x^4-2x^3-(t-2)x^2 \end{eqnarray*}$

Also leite ich die ab und krieg folgenden Term: $\begin{eqnarray*} f'_t=2*(t*(2x^2-1)-3x+2)*x \end{eqnarray*}$ . Wenn ich nu, wie du meintest, unabhängig von t sein will, muss ja dieser Teil des Terms: $\begin{eqnarray*} t*(2x^2-1)-3x+2 \end{eqnarray*}$ = 0 sein oder?

Wenn ich das mache, krieg ich ein x = +/- 0,707 (wurzel 1/2) raus.

is der Ansatz in irgendeiner Art und Weise richtig bzw. kann man das so machen oder bin ich schon wieder komplett falsch?

22.01.2010, 01:57

Explo

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Deine Überlegung ist auf jedenfall richtig.

Und deine Lösungen auch, wobei es natürlich besser ist, wenn man, wie du in Klammern, in Wurzel schreibt.

Ich hab mich vielleicht ein wenig umständlich ausgedrückt. unabhängig von t ist nicht ganz korrekt.

Korrekter wäre es, wenn man sagt, dass die erste Ableitung für alle t gleich ist.
(dahingehend rechne ich mal gleich noch was durch)

Ansonsten sollte a) soweit damit durchsein. (Bis auf den Beweis, dass nun alle Kurven an den Stellen parrallele Tangenten haben.)

22.01.2010, 02:00

Explo

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Ok fertig mit durchrechnen xD ..

Zitat:

Original von Icega
Wenn ich nu, wie du meintest, unabhängig von t sein will, muss ja dieser Teil des Terms: $\begin{eqnarray*} t*(2x^2-1)-3x+2 \end{eqnarray*}$ = 0 sein oder?

Also wenn mich nicht alles täuscht reicht es, wenn

$\begin{eqnarray*} t \cdot (2x^2-1) = 0 \end{eqnarray*}$

Edit: bzw. nicht reicht es, sondern dann ist das die Bedingung dafür. (aber das hast du ja richtig gerechnet)

22.01.2010, 02:04

Icega

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okay sorry stimmt ich hab auch nur den Teil verwendet. Nu hab ich also mein x für das die erste Ableitung für alle t gleich ist. Aber wie mach ichn dann weiter, also wie bau ich das dann richtig in die Tangentengleichung ein? Bzw. wie funktioniert der Beweis, den du angesprochen hast?

22.01.2010, 02:07

Explo

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Eine Tangentengleichung sollst du ja gar nicht aufstellen. Du sollst nur die Stellen angeben (hast du getan) und zeigen, dass an diesen Stellen (bzw. dass es stellen gibt), alle Tangenten parrallel sind.

Wie gesagt parrallel sind sie, wenn sie den gleichen Anstieg haben.

Der Anstieg $\begin{eqnarray*} m = f_t'(x) \end{eqnarray*}$ Nun würde ich zeigen, dass an den ausgerechneten Stellen ein Wert herauskommt, der unabhängig von t ist und somit gleich für alle t.

22.01.2010, 02:13

Icega

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dann muss ich doch aber nur (was ich an sich schon gemacht hab) zeigen, dass t bei +/- wurzel 1/2 rausfällt oder?

Und dann gehts ja glei weiter ... was mach ich bei der b)? ^^

22.01.2010, 02:18

Explo

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So würde ich es zumindest tun ja.

b) Zeige: $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ besitzt für jedes t ungleich 2 zwei Tiefpunkte.

Definiton / Bedingungen / (Formeln) für Tiefpunkte?

22.01.2010, 02:36

Icega

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Naja Tiefpunkt Formel is ja f'(x) = 0 und dann halt entsprechende Stellen in f''(x) einsetzen und die müssen >0 sein, oder?

f''(x) = t * (12x² - 2) - 12x + 4

wenn ich nu aber einfach mit t drin verusch die erste Ableitung = 0 zu setzen, kommt da irgendwie Stuss raus

22.01.2010, 02:44

Explo

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Ich gehe mal davon aus, dass die 2. Ableitung richtig ist mir fehlt grad der Nerv um das nachzurechnen :p

Zur Aufgabe: Son stuss wird das nicht sein.

Du musst die erste Ableitung 0 setzen kriegst dann Werte für x raus.

also $\begin{eqnarray*} f_t'(x_0)=0 ~ ~ ~ \forall t \neq 2 \end{eqnarray*}$ .

Für jeden dieser Werte musst du dann "einfach" überprüfen ob:

$\begin{eqnarray*} f_t''(x_0) > 0~ \forall t \neq 2 \end{eqnarray*}$

Bei der Aufgabenstellung vermute ich mal, dass diese Bedingun(en) 2 Punkte/Werte erfüllen Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.01.2010, 02:49

Icega

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also ich versuch da grad dran zu kommen aber bisher klappts net..

f'(x)=2*(t*(2x² - 1) - 3x + 2)*x
2x*(2tx² - t - 3x + 2) = 0
x1 = 0

2tx² - t -3x + 2 = 0

un genau da hörts auf. Wenn da nur -t oder +2 satehen würde, könnt ich ja wohl die mitternachtsformel nehmen aber so keine Ahnung wie das weiter gehn soll

22.01.2010, 02:54

Explo

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Ja benutz diese auch.

Am Ende sollte dann ein x1,x2 rauskommen, welche abhängig von t sind.

Also beispielsweise $\begin{eqnarray*} x_1 = 3 + \sqrt{3t} \end{eqnarray*}$

22.01.2010, 03:06

Icega

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hmmm ... wenn ich da nu also die mitternachtsformel verwende, kommt bei mir sowas raus:

x1/2 = ( 3 +/- WURZEL(9-16t+8t²) ) / 4t

kann das sein?

22.01.2010, 03:15

Explo

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möglich ist das.

Genau nachrechnen werde ichs aber erst (falls dann noch erwünscht) morgen.

Ich denke so oder so, da es ja nur zum übern für die KA ist reicht es erstmal, wenn du den Weg kennst.

Weisst du wie es nun weiter geht?

22.01.2010, 03:21

Icega

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naja es ließe sich nun nachweißen, dass 9-16t+8t² weder negativ noch 0 werden kann, womit es immer 2 Lösungen gibt. Allerdings weiß ich dann nimmer weiter ..

22.01.2010, 03:24

Explo

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Die Lösungen aus

$\begin{eqnarray*} f_t'(x_0)=0 ~ ~ ~ \forall t \neq 2 \end{eqnarray*}$

in

$\begin{eqnarray*} f_t''(x_0) ~ \forall t \neq 2 \end{eqnarray*}$

einsetzen. Geratener Weise sollten da 2 Lösungen rauskommen, die < 0 sind.

So ich geh schlafen ... dafür, dass ich um 12 schon schlafen wollte ist es reichlich spät verwirrt

verwirrt

Falls noch was ist ich guck morgen wieder rein.. ausgeruht .. Augenzwinkern

Augenzwinkern

gN8

22.01.2010, 03:26

Icega

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wenn da nur irgendwelche konkreten Lösungen wären =/
"( 3 +/- WURZEL(9-16t+8t²) ) / 4t" bringt mich einer konkreten Lösung halt net mal ein kleines Stückchen weiter..

Dankeschön auf jeden Fall :]

22.01.2010, 03:30

Explo

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1. Sollst du nur zeigen, dass es 2 Tiefpunkte gibt. Also nichtmal Werte angeben.

2. Ist eine Lösung ala $\begin{eqnarray*} x = t \end{eqnarray*}$ "konkret."

t muss bei sowas als eine feste Zahl angesehen werden. (also in den überlegungen)

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