2004-te potenz einer 2x2 matrix

22.01.2010, 13:55

kolto

2004-te potenz einer 2x2 matrix

die matrix ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit diagonalisieren ist wohl nciht angedacht, denn die eigenwerte sind irgendwas mit wurzel undso. hab mal paar potenzen gemach und rekursive formeln aufgestellt fü die einzelnen einträge, glaube aber das bringt nicht viel. nilpotent ist sie auch wohl eher nicht^^

22.01.2010, 13:58

klarsoweit

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RE: 2004-te potenz einer 2x2 matrix

Zitat:

Original von kolto
denn die eigenwerte sind irgendwas mit wurzel undso.

Das ist Hemmnis, aber kein Hinderungsgrund.

22.01.2010, 14:01

kolto

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Deine signatur ist sehr wahr Augenzwinkern

ich kuck ma

22.01.2010, 14:29

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Für $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lässt sich

$\begin{eqnarray*} A^n = \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n+1} \end{pmatrix}\quad \mbox{für alle} \; n\geq 1 \end{eqnarray*}$

durch vollständige Induktion nachweisen, dabei ist $\begin{eqnarray*} (F_n) \end{eqnarray*}$ die Fibonacci-Zahlenfolge.

Speziell ist $\begin{eqnarray*} A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , um den Zusammenhang zur vorliegenden Aufgabe herzustellen. Augenzwinkern

22.01.2010, 14:31

kolto

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die diagonalmatrix ist
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2+\sqrt{5} & 0 \\ 0 & 2-\sqrt{5} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dann ist D^2004 $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} (2+\sqrt){5}^{2004} & 0 \\ 0 & (2-\sqrt{5})^{2004} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nur irgendwie krieg ich als eigenräume nur nullräume raus... obwohl das ding mit 2 eigenwerten ja diagonalisierbar sein muss

22.01.2010, 14:42

kolto

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hatte mich verrechnet, also problem erstmal gelöst^^

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