Flächeninhalt zwischen Kurve und 2 Geraden [war: Analysis]

23.01.2010, 11:50

Ceka

Flächeninhalt zwischen Kurve und 2 Geraden [war: Analysis]

Hi, komme hier nicht so ganz weiter. Vielleicht kann mir ja einer weiterhelfen?

Ich muss den Inhalt der Fläsche, die zwischen dem Graphen der Funktion

fe(x)= (e^1 - e^x) ^2, der Geraden mit der Gleichung y= e^2 und der Geraden

x=a mit a < 0 liegt, berechnen.

Habe den Schnittpunkt von der fe funktion und y=e^2 berechnet, also gleichgesetzt. und da bekomme ich x= ln 2e raus. was muss ich nun machen? ich muss ja das mit dem Integral machen und deinen Bereich haben. habe aber nur eine nullstelle, oder habe ich was vergessen?

EDIT von Calvin
Bitte einen aussagekräftigen Titel verwenden. Danke

23.01.2010, 12:07

Mulder

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RE: Analysis

Was willst du denn mit der Nullstelle? Gesucht ist doch die Fläche, die f,y und die Gerade x=a einschließen. Diese Fläche liegt im ersten und zweiten Quadranten. Was sind denn die Integrationsgrenzen?

23.01.2010, 12:23

Ceka

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die integrationsgrenzen sind doch der schnittpunkt mit x=a und y=e^2 ?

23.01.2010, 12:26

Mulder

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x=a ist schon mal richtig. Denk dir eine senkrechte Gerade in die Skizze dazu, die deine Fläche begrenzt. Also ist die untere Integrationsgrenze das a (mit a<0).

Die obere Grenze ist in der Tat der Schnittpunkt von f und y. Den hast du ja schon ausgerechnet.

23.01.2010, 12:37

Ceka

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also ich habe vorher bei der Teilflächenberechnung (Integralzeichen) f(x) - g(x) dx + (integralzeichen) f(x) - g(x) dx gerechnet.

hier habe ich jetzt die untere integrationsgrenze a und die obere ln(2e) für die funktion f.

mir fehlt die idee, wie ich weitermachen soll.

23.01.2010, 12:41

Mulder

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Warum? Ist doch nur noch das Integral zu berechnen. Integrieren, Grenzen einsetzen, fertig. Dann bekommst du eine von a abhängige Fläche. Weiter geht's dann eben nicht. Offensichtlich ist ja

$\begin{eqnarray*} e^2 \geq (e-e^x)^2 \end{eqnarray*}$ in dem entsprechenden Intervall. Also über die Differenzfunktion integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{a}^{ \ln(2e)} \! e^2-(e-e^x)^2 \, \dx \end{eqnarray*}$

Ich bin jetzt erstmal weg. Gegebenenfalls muss jemand anders übernehmen, mich korrigieren oder weiterhelfen. Augenzwinkern

23.01.2010, 13:01

Ceka

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ok danke

kann mir einer erklären wie Mulder auf e^2 >= (e - e^x) ^2 gekommen ist?

23.01.2010, 13:59

tyger

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Hallo,
vielleicht kann man das einsehen,wenn man auf beiden Seiten die Wurzel zieht?
LG
tyger

23.01.2010, 14:33

Ceka

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aber wieso dann $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ ? also braucht man das e^2 am anfang im integral oder kann man das auch weglassen.

23.01.2010, 19:54

Mulder

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Diese Ungleichung folgt sofort aus der Tatsache, dass es nur einen einzigen Schnittpunkt gibt. Dann zeigst du für ein hinreichend kleines x, das die Ungleichung erfüllt ist (zum Beispiel einfach für x=1 oder so einsetzen, ist ja egal), daraus folgt dann sofort, dass die Ungleichung auch für alle x<ln(2e) gilt. Das war auch eher am Rande erwähnt.

Ansonsten geht das ja auch aus der Zeichnung hervor. Wurzelziehen jedenfalls ist mit Vorsicht zu genießen.

Zitat:

Original von Ceka
also braucht man das e^2 am anfang im integral oder kann man das auch weglassen.

Das kannst du doch nicht weglassen! Das gehört zur Funktion dazu! Hast du das Integral denn schon berechnen können? Mach doch mal, ist nicht so schwer. Du kannst die binomische Formel auch ruhig erstmal ausmultiplizieren.

Edit: Falls nicht klar geworden ist, warum ich überhaupt mit der Ungleichung angefangen habe: Wenn du die Fläche berechnen willst, die zwei Graphen in einem bestimmten Intervall einschließen, dann dürfen die beiden Graphen zwischen der unteren und oberen Integrationsgrenze keine Schnittpunkte haben. Wenn das doch der Fall ist, muss man die Schnittpunkte bestimmen und das Integral in mehrere Integrale aufteilen, bis man nur noch über Teilintervalle integriert, in denen es dann keine Schnittpunkte mehr gibt. Solche Probleme haben wir hier aber ja nicht, das siehst du ja schon an der Skizze oben.

24.01.2010, 00:57

Ceka

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achso ok. nur einen schnittpunkt habe ich ja. kann man auch an der zeichnung sehen. bei ca. x=1,85. wenn ich diesen schnittpunkt für die integrationsgrenze rausbekommen möchte, muss ich fe(x) mit y=e^2 gleichsetzten. da kommt bei mir ln (2e) raus.

ist das richtig gerechnet? verwirrt

habe das integral noch nicht berechnet. wollt erst wissen, ob meine grenze überhaupt richtig ist Big Laugh

24.01.2010, 01:48

Mulder

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Klar, dein Schnittpunkt ist okay. Hatte ich ja in Beitrag #4 schon gesagt.

Zur Kontrolle könntest du sonst ja einfach mal einsetzen und überprüfen, wenn du dir selbst nicht sicher bist:

$\begin{eqnarray*} f(\ln(2e)) \overset{!}= e^2 \end{eqnarray*}$

24.01.2010, 11:55

Ceka

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ok.

wenn ich das jetzt berechne...

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! e^{2}-\left(e^{1}-e^{x}\right)² \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! e^{2}-\left(e^{2}- 2e^{1}e^{x}+ e^{2x} \right) \, dx \end{eqnarray*}$

(bei den integrationsgrenzen soll das b ein ln (2e) sein)

ich weiss nicht weiter. wie bilde ich bei e^2 die stammfunktion? das ist ja eine Zahl. und wie geht das bei 2e e^x ?

24.01.2010, 12:06

Mulder

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Du machst es dir unnötig schwer. Wir sind nun hier (binomische Formel aufgelöst, hast du ja gemacht):

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{a}^{ \ln(2e)} \! e^2-(e-e^x)^2 \, \dx = \int\limits_{a}^{ \ln(2e)} \! e^2-(e^2-2e \cdot e^x + e^{2x}) \, \dx \end{eqnarray*}$

Löse erstmal die Klammer auf (achte dabei auf die Vorzeichen!), dann kannst du zwei Summanden schonmal gegeneinander wegkürzen.

Aus dem $\begin{eqnarray*} 2e\cdot e^x \end{eqnarray*}$ kannst du (Potenzgesetze) ein $\begin{eqnarray*} 2e^{x+1} \end{eqnarray*}$ machen. Klar, warum? Ansonsten nochmal Potenzgesetze ansehen! Du kannst theoretisch aber auch mit $\begin{eqnarray*} 2e \cdot e^x \end{eqnarray*}$ weiterrechnen, wenn du willst. Letztendlich führt es beides zum selben Ergebnis, sofern du alles richtig machst. Mach das, was du für übersichtlicher hälst.

24.01.2010, 12:18

Ceka

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stimmt. ja die potenzgesetze kann ich noch smile

wenn ich die 2 $\begin{eqnarray*} e^{2} \end{eqnarray*}$ wegkürze, kommt das raus.

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! -2e^{x+1}+e^{2x} \, dx \end{eqnarray*}$

weiss aber nicht, wie die stammfunktionen von $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ funktionen gebildet wird.

f(x)= e^x ist ja F(x)= e^x wenn da jetzt zahlen dabei sind weiss ich nicht weiter

24.01.2010, 12:27

Mulder

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Nein, das stimmt so eben nicht! Ich sagte doch, achte auf die Vorzeichen!

$\begin{eqnarray*} a - (b-c) = a - b +c \end{eqnarray*}$

Die Zahlen davor sind doch einfach nur Konstanten, die machen keine Probleme beim Integrieren (Stichwort Faktorregel), die kannst du einfach "mitschleppen".

Im Allgemeinen ist die Stammfunktion von einer Funktion der Form $\begin{eqnarray*} f_a(x) = a \cdot e^{g(x)} \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} F_a(x)= \frac{a}{g'(x)}\cdot e^{g(x)} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ eine lineare Funktion ist (wirklich nur dann!), und a irgendeine Konstante ist. Ist das hier der Fall?

Edit: Ich muss nun übrigens wieder zur Arbeit, weitere Hilfe von mir ist erst gegen Abend wieder zu erwarten, sofern bis dahin niemand eingesprungen ist.

24.01.2010, 12:52

Ceka

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ja hier ist das der Fall mit der linearen und konstanten

ok. dann kommt raus. wenn ich die vorzeichen beachte ...

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! 2 e^{x+1}- e^{2x} \, dx \end{eqnarray*}$ (b = ln(2e)

$\begin{eqnarray*} = \left[\frac{2}{1}e^{x+1} - \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{a}^{ln(2e)} \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig aufgeleitet?

24.01.2010, 15:34

tyger

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! -2*e^{x+1}+e^{2*x} \, dx \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} -2*\int_a^b \! e^{x+1} \, dx \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! e^{2*x} \, dx \end{eqnarray*}$
Weiter kommst du vielleicht mit Substitution..
LG
tyger

24.01.2010, 17:46

Ceka

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ja ok. aber

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! -2e^{x+1} +e^{2x} \, dx \end{eqnarray*}$ ist doch falsch.

Mulder sagte, da wäre ein vorzeichenfehler drin. also einfach die zeichen umdrehen oder?

dann in 2 integrale aufteilen und ich probier das mal jetzt.

24.01.2010, 19:42

Ceka

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ich habe das jetzt soweit wie möglich versucht zu lösen.

$\begin{eqnarray*} = 2\left[e^{x+1}+c \right]_{a}^{ln(2e)}+ \left[\frac{-1}{2}e^{2x} +c \right]_{a}^{ln(2e)} \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} = 2\left((e^{ln(2e)+1}+c)- \left(e^{a+1}+c\right) \right) + \left(\frac{-1}{2}e^{2 ln(2e)}+c - \left(\frac{-1}{2}e^{2a} +c \right) \right) \end{eqnarray*}$

wäre das soweit richtig und dann noch irgendwie zusammenfassen? Hammer

24.01.2010, 23:34

Mulder

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Das ist soweit richtig, ja. Nur die Integrationskonstante c kannst du dir sparen. Dass du es mitgeschrieben hast, ist natürlich nicht falsch, aber unnötige Zusatzarbeit. Bei bestimmten Integralen, bei denen man obere Grenze minus untere Grenze rechnet, kürzen die sich eh immer raus, und das darfst du auch sicher benutzen (Hauptsatz der Analysis). Nur bei unbestimmten Integralen (also wenn du einfach nur eine Stammfunktion suchst) musst du die Integrationskonstante dazuschreiben. Bei Flächenberechnungen (also bestimmten Integralen) kannst du das weglassen.

Okay. Da kann man jetzt natürlich noch eine ganze Menge zusammenfassen und vereinfachen. Wenn ich aus deinem Ergebnis einfach mal die Integrationskonstante c rauswerfe, sind wir hier angekommen (ist das gleiche, was du auch geschrieben hast, du kannst auch gerne mit deinen Ergebnissen weiter rechnen):

$\begin{eqnarray*} A = 2 \left ( e^{\ln(2e)+1} - e^{a+1} \right ) - \frac{1}{2} \left ( e^{2\ln(2e)} - e^{2a} \right ) \end{eqnarray*}$

Magst du nun noch versuchen, das zu vereinfachen? Da kürzt sich später auch noch ein wenig raus. Insbesondere Potenzgesetze helfen da noch um einiges weiter.

@tyger: Vorsicht, du hast die Vorzeichenfehler einfach so übernommen! Und Substitution kann man hier zwar machen (wie eigentlich überall, wenn man Lust hat), aber wozu? Ist unnötig umständlich, hier liegen sehr elementare e-Funktionen vor, die man auch so integrieren kann. Das Aufteilen in zwei Integrale ist auch unnötig, dadurch ändert sich doch nichts.

Edit: Statt "aufleiten" sagen wir lieber mal "integrieren" und statt "Aufleitung" lieber "Stammfunktion".

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