Matrix aus 4 Matrizen

23.01.2010, 16:25

nube28

Matrix aus 4 Matrizen

Hallo

Ich brauch Hilfe bei folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} A\in K^{mxm}, B\in K^{mxs}, C\in K^{rxm}, D \in K^{rxs} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Rang\begin{pmatrix} A & B \\C & D \end{pmatrix}=m \end{eqnarray*}$

A ist invertierbar. Man zeige: $\begin{eqnarray*} D= C * A^-1 * B \end{eqnarray*}$

Ich finde einfach keinen Ansatz!
Bin dankbar für jegliche Hilfe.

LG nube28

23.01.2010, 19:31

Leopold

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Die Spalten der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A \\ C \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig. (Ließe sich nämlich aus diesen Spalten die Nullspalte nichttrivial linear kombinieren, so bekäme man durch Restriktion auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die lineare Abhängigkeit der Spalten von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , was der Invertierbarkeit von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ widerspräche.)
Nimmt man nun zu den Spalten von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A \\ C \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -te Spalte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b_j \\ d_j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} B \\ D \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hinzu, so entsteht wegen der Rangvoraussetzung lineare Abhängigkeit. Daher läßt sich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b_j \\ d_j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der Spalten von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A \\ C \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreiben. Es gibt also Skalare $\begin{eqnarray*} t_{1j}, t_{2j}, \ldots, t_{mj} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b_j \\ d_j \end{pmatrix} = t_{1j} \begin{pmatrix} a_1 \\ c_1 \end{pmatrix} + t_{2j} \begin{pmatrix} a_2 \\ c_2 \end{pmatrix} + \ldots + t_{mj} \begin{pmatrix} a_m \\ c_m \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit der Matrix $\begin{eqnarray*} T = \left( t_{ij} \right)_{1 \leq i \leq m, \, 1 \leq j \leq s} \end{eqnarray*}$ kann man das kompakt schreiben als

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} B \\ D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \\ C \end{pmatrix} \cdot T \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist man fast am Ziel ...

24.01.2010, 11:54

nube28

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Was ist eine Restriktion?

24.01.2010, 12:31

Mystic

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Zitat:

Original von nube28
Was ist eine Restriktion?

Das ist die Einschränkung einer Funktion, z.B., wäre für natürliche Zahlen m,n mit $\begin{eqnarray*} m \le n \end{eqnarray*}$ die Abbildung

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$

welche die letzten n-m Komponenten aus jedem Vektor in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ einfach wegläßt, eine Restriktion...

24.01.2010, 18:04

nube28

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A \\ C \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ [/quote] Was bedeutet diese Schreibweise?
Ich habe noch Probleme mir das vorzustellen.

24.01.2010, 18:06

nube28

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Was meinst du mit Rangvorraussetzung?

24.01.2010, 20:16

Leopold

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RE: Matrix aus 4 Matrizen

Zitat:

Original von nube28
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A \\ C \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Was bedeutet diese Schreibweise?

Das ist die Schreibweise mit Kästchenmatrizen, ganz wie in deiner Aufgabe.

Zitat:

Original von nube28
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Rang} \begin{pmatrix} A & B \\C & D \end{pmatrix}=m \end{eqnarray*}$

Und so viel zur "Rangvoraussetzung".

Damit du da überhaupt einmal anfangen kannst, solltest du dir eine Matrix wie vorgegeben skizzieren. Vorschlag: $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ vom Typ 3×3, $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ vom Typ 3×1, $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ vom Typ 2×3 und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ vom Typ 2×1. Und dann die Blöcke neben- bzw. untereinander anordnen.

26.01.2010, 09:19

nube28

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RE: Matrix aus 4 Matrizen
ok, das habe ich alles verstanden, doch ich weiß nicht, wie ich jetzt auf die Gleichung in der Aufgabe kommen soll.
Kannst du mir da helfen?

26.01.2010, 15:19

Leopold

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RE: Matrix aus 4 Matrizen

Zitat:

Original von nube28
ok, das habe ich alles verstanden

Gestatte, daß da auf meiner Seite "geringe Restzweifel" verbleiben, wenn ich mir deine zwei vorigen Beiträge vor Augen führe.
Aber es ist nicht meine Aufgabe, dich zum wahren Verständnis hinzuprügeln.

Du kannst so zum Ende kommen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} B \\ D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \\ C \end{pmatrix} \cdot T \ \ \Leftrightarrow \ \ \begin{pmatrix} B \\ D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} AT \\ CT \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Führe einen Blockvergleich durch und eliminiere $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ aus den beiden Gleichungen.

26.01.2010, 18:58

nube28

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RE: Matrix aus 4 Matrizen
Ich habe das obige verstanden, und ich gebe zu meine Fragen waren ziemlich blöde, das ist mir hinterher aufgefallen.
Ich habe das Wort Blockvergleich noch nie gehört, was ist das?

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