Definitheit einer 4x4-Matrix

23.01.2010, 21:56

Fulham

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Definitheit einer 4x4-Matrix

Hallo,

ich soll die Definitheit der folgenden Matrix bestimmen:

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & 4 & 3 & 0,5 \\ 4 & 9 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 10 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe jetzt erst einmal die Determinante ausgerechnet: 45. Soweit richtig?

Wie sieht es nun mit der Definitheit aus? Hilft mir die Determinante überhaupt weiter? Stehe leider auf dem Schlauch und hoffe mal, dass mir jemand weiterhelfen kann? :-)

Gruß

24.01.2010, 00:43

MI

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RE: Definitheit einer 4x4-Matrix
Du sollst einfach nur zeigen, dass die Matrix definit ist?
Also dass $\begin{eqnarray*} Ax=0~~\Leftrightarrow~~x=0 \end{eqnarray*}$ gilt?

Was besagt denn die Determinante? Und was bedeutet Definitheit für den Kern der Abbildung?

Gruß
MI

24.01.2010, 12:24

tigerbine

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RE: Definitheit einer 4x4-Matrix
Hallo MI,

kannst du mir mal einen Link für diese Definition der Definitheit geben? Ich kenne das eher als Regularität einer Matrix. Wink

Wink

24.01.2010, 12:36

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Bevor es wieder (wie schon so oft hier im Board) zu Missverständnissen kommt:

Gewöhnlich spricht man von (positiver oder negativer) Definitheit nur bei symmetrischen (bzw. im Komplexen: hermiteschen) Matrizen. Nur für diese besteht nämlich die Verbindung zur Positivität bzw. Negativität der Eigenwerte.

Die Matrix hier ist offenbar nicht symmetrisch. Lässt man auch für solche Matrizen den Begriff Definitheit zu, dann hat eine evtl. Eigenwertuntersuchung zumindest am symmetrischen Anteil

$\begin{eqnarray*} A_S = \frac{1}{2} (A + A^T) \end{eqnarray*}$

zu erfolgen statt an der Originalmatrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Die Eigenwerte einer unsymmetrischen Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sind nämlich für die Frage $\begin{eqnarray*} x^TAx \gtreqless 0 \end{eqnarray*}$ i.d.R. irrelevant.

24.01.2010, 12:43

tigerbine

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Ein Beispiel dazu für eine unsymmetrische Matrix.

24.01.2010, 12:55

MI

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RE: Definitheit einer 4x4-Matrix
@tigerbine

Ich war fehlgeleitet von einer Vermischung von positiv/negativ Definitheit bei symmetrischen Bilinearformen und Definitheit in der Definition von Normen.

Sorry smile

smile

.

Gruß
MI

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25.01.2010, 16:33

Fulham

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Sorry, dass ich mich erst jetzt wieder melde. Vielen Dank jedenfalls schon mal für die Antworten, auch wenn ich zugeben muss, dass ich nicht wirklich schlauer als vorher bin...
Ist folgender Ansatz denn auch richtig: ich bestimme die Definitheit dieser Matrix einfach über die Hauptminoren und komme zu dem Ergebnis, dass $\begin{eqnarray*} \alpha 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha 2 \end{eqnarray*}$ positiv sind, $\begin{eqnarray*} \alpha 3 \end{eqnarray*}$ jedoch negativ. Damit wäre die Matrix doch indefinit oder nicht?

Vielen Dank schon mal im Voraus :-)

25.01.2010, 16:37

tigerbine

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Dieser Satz gilt doch nur für symmetrische Matrizen. http://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit#Hauptminoren

25.01.2010, 17:12

Fulham

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Klar, hast Du natürlich recht. Aber ich verstehe jetzt leider nicht genau, wie ich aus dieser asymmetrischen Matrix eine symmetrische Matrix mache, um eben die Definitheit bestimmen zu können...

25.01.2010, 17:17

tigerbine

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Bevor es wieder (wie schon so oft hier im Board) zu Missverständnissen kommt:

Gewöhnlich spricht man von (positiver oder negativer) Definitheit nur bei symmetrischen (bzw. im Komplexen: hermiteschen) Matrizen. Nur für diese besteht nämlich die Verbindung zur Positivität bzw. Negativität der Eigenwerte.

Die Matrix hier ist offenbar nicht symmetrisch. Lässt man auch für solche Matrizen den Begriff Definitheit zu, dann hat eine evtl. Eigenwertuntersuchung zumindest am symmetrischen Anteil

$\begin{eqnarray*} A_S = \frac{1}{2} (A + A^T) \end{eqnarray*}$

zu erfolgen statt an der Originalmatrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Die Eigenwerte einer unsymmetrischen Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sind nämlich für die Frage $\begin{eqnarray*} x^TAx \gtreqless 0 \end{eqnarray*}$ i.d.R. irrelevant.

Was ist hieran unklar?

25.01.2010, 17:26

Fulham

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Leider alles, zuviele Buchstaben ;-) Nein ernsthaft, könntest Du mir das mit Zahlen anhand dieser konkreten Matrix zeigen?

25.01.2010, 17:32

tigerbine

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Nein, denn du wirst es doch wohl noch schaffen, eine Matrix zu transponieren und dann 2 Matrizen zu addieren.

25.01.2010, 17:52

Fulham

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Hehe, wohl wahr. Stand halt etwas auf dem Schlauch. Liege ich hiermit richtig:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & 4 & 2 & 3,75 \\ 4 & 9 & 0 & 3,5 \\ 2 & 0 & 0 & 5 \\ 3,75 & 3,5 & 5 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.01.2010, 17:55

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Zitat:

Original von Fulham
Leider alles, zuviele Buchstaben ;-)

Da ich letztens mal wieder Milos Formans "Amadeus" angesehen habe, ehrt mich diese Parallele zu "zu viele Noten". Big Laugh

Big Laugh

25.01.2010, 18:27

Fulham

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Das freut mich zu hören ;-)

Wenn ich jetzt die Definitheit mit den Hauptminoren bestimme, komme ich auch drauf, dass die Matrix indefinit ist. Korrekt?

26.01.2010, 11:22

Reksilat

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Der symmetrische Anteil richtig aus. Hauptminoren habe ich jetzt nicht nachgerechnet, aber dass diese Matrix indefinit ist, sieht man zum Beispiel, wenn man für $\begin{eqnarray*} x_1=(1,0,0,0,0)^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=(1,0,-2,0,0)^T \end{eqnarray*}$ jeweils mal $\begin{eqnarray*} x_i^TA_Sx_i \end{eqnarray*}$ ausrechnet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

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