[Abgespaltet] Berührbedingung Kreis Hyperbel

14.10.2006, 18:44

OGJ

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Ok wann verwende ich bei den Kegelschnitten die Berührbedingung (BB)?

- nur wenn ich in der Angabe (es geht bei mir immer um Schulmathematik) eine Gerade habe und ich wissen will ob sie Passante, Tangente oder Sekante is?

- oder auch um heraus zufinden wo sich zwei Kurven berühren?

- ...???

Folgendes Problem, hab hier ein wichtiges aber leider sehr fragmenthaftes Bsp. wo sich ein Kreis (gleichung gegeben) und eine Hyperbel (gegben a=2) berühren.Wie bekomm ich die Gleichung der Hyp. (einfach durch einsetzen von x/y des Kreises?)? Wie kommt man auf den/die Berührungspunkt/e ? mit BB oder die beiden einfach schneiden, leg ich irgendwo eine Tangente,...?

ich muss dann das entstehende Flächen Stück rotieren lassen.

Hat jemand evtl. ähnliche Kegelschnitt-Volumsintegral-Bsp. mit Lösungen. Wo es vielleich nicht so leicht ist erst mal auf die gleichungen zu kommen.

uhh is jetzt schon sehr speziell alles.

Hab angst dass ich bei meiner bevorstehenden Prüfung, zwar Integrieren und so kann, es mir aber nix nützt weil ich nicht auf die Gleichungen komm, beziehungsweise falsch einzeichne

bitte um Hilfe

mfg OGJ

14.10.2006, 20:14

OJG

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ok anderest gefragt wie berechne ich den Berührungspunkt von zwei Kurven, hier Kreis und Hyperbel?

danke im vorraus

14.10.2006, 21:30

MrPSI

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Ich habe das Thema abgespaltet, weil es hier um eine andere Problemstellung geht und auch in einen anderen Bereich fällt.

Zitat:

Ok wann verwende ich bei den Kegelschnitten die Berührbedingung (BB)?

- nur wenn ich in der Angabe (es geht bei mir immer um Schulmathematik) eine Gerade habe und ich wissen will ob sie Passante, Tangente oder Sekante is?

- oder auch um heraus zufinden wo sich zwei Kurven berühren?

Soweit mir bekannt ist, gibt es Berührbedingungen nur für den Fall, das eine Gerade
a) errechnet werden muss, oder
b) vorhanden ist und getetstet werden muss, ob eine Tangente am Kegelschnitt vorliegt.

Für deine Aufgabe hab ich momentan keine Lösung parat und erste Versuche zeigen, dass die Berechnung extrem kompliziert wird. verwirrt

verwirrt

14.10.2006, 22:10

OGJ

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ok, sorry bin bisschen verwirrt heut,

hier mein fragmenthaftes bsp.

Hyp: 2a = 4 --> a=2, Kreis: $\begin{eqnarray*} x^2 + (y -7)^2 = 25 \end{eqnarray*}$ (hier kann was von den Zahlen beim Kreis nicht stimmen, glaub ich)

so der Kreis soll Hyp. irgendwie berühren und dann soll eine entstehende Fläche irgendwie rotiern (is jetzt aber egal)

gut für den Kreis bekomm ich M(0/7), r = 5

dann stell ich die Hyperbelgleichung, mit a (hab ich ja) und x und y vom kreis auf um auch b zu erhalten. stimmt das so?

gut dann kommt bei mir $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ = -7 heraus und das kann so nicht stimmen oder? weil wie soll $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ negativ sein? wahrscheinlich falsche angaben beim Kreis!

gut aber würde der rechengang bis jetzt stimmen, hätt ich 2 Gleichungen aber schneiden kann ich sie ja nicht wirklich wenn ich wissen will wo sie sich berühren!

weiters is auffällig dass bei Kreis x = 0 is. hat das was zu bedeuten. evtl was mit Tangente oder so

wie rechne ich theoretisch weiter

????

14.10.2006, 22:28

mYthos

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Die Aufgabe ist bei Volumsberechnungen durchaus gängig, etwa, wenn in ein Rotationshyperboloid eine Kugel hineingelegt wird und der unter ihr verbliebene Raum berechnet werden soll.

Dazu werden die beiden Gleichungen (Kreis, Hyperbel) zunächst allgemein aufgelöst. Da es dann statt zwei Schnittpunkte - welche die entstehende quadratische Gleichung liefern würde - nur einen Berührungspunkt geben darf, wird nun die Diskriminante der quadratischen Gleichung (d.i. jener Term, der unter der Wurzel steht) Null gesetzt. Dadurch kann dann das b der Hyperbel ermittelt werden, etwa so:

[2 Schreibfehler von $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} b^2x^2 \end{eqnarray*}$ editiert! Rechnung stimmt jedoch!]

$\begin{eqnarray*} b^2x^2 - 4y^2 = 4b^2 \end{eqnarray*}$ .. Hyp
$\begin{eqnarray*} (x - 10)^2 + y^2 = 36 \end{eqnarray*}$ .. Kreis
---------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ eliminieren -> quadr. Gl. in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} x^2 \cdot (b^2 + 4) - 80x - (4b^2 - 256) = 0 \end{eqnarray*}$
in dieser quadr. Gleichung die Diskriminante: $\begin{eqnarray*} 6400 + 4(b^2 + 4) \cdot 4(b^2 - 64) \end{eqnarray*}$ Null setzen ... -> $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$

Gr
mYthos

[Edit:]

Jetzt erst habe ich deine Angabe gesehen, der Kreis hat seinen Mittelpunkt auf der y - Achse, aber der Rechengang bleibt so wie beschrieben, es ändern sich nur die Zahlenwerte:

$\begin{eqnarray*} b^2x^2 - 4y^2 = 4b^2 \end{eqnarray*}$ .. Hyp
$\begin{eqnarray*} x^2 + (y - 7)^2 = 25 \end{eqnarray*}$ .. Kreis
---------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ eliminieren -> quadr. Gl. in $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$
deren Diskriminante = 0
->
$\begin{eqnarray*} 196b^4 - 112b^2 (b^2 + 4) = 0 \end{eqnarray*}$
nach $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ auflösen!

...

[ $\begin{eqnarray*} b^2 = \frac{28}{5} \end{eqnarray*}$ ] [Edit: Fehler meinerseits, richtig ist $\begin{eqnarray*} b^2 = \frac{16}{3} \end{eqnarray*}$ ]

Gleichzeitig liefert diese Methode gleichzeitig auch sehr bequem den Berührungspunkt (der y-Wert ist eine Integrationsgrenze), denn in der quadr. Gleichung ist jetzt der Wurzelausdruck Null und daher

$\begin{eqnarray*} y = \frac{7b^2}{b^2 + 4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = .. \end{eqnarray*}$

14.10.2006, 22:52

OGJ

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wow,

werd das mal probieren und ja war so ein Rotationsbeispiel von meiner nichtbestandenen mündlichen Matura (Österr.).

hast du vielleicht noch so ein ähnliches bsp.

danke auf alle fälle mal

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14.10.2006, 23:09

mYthos

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Ja, noch ein anderes (etwas leichteres) Beispiel, mit dem gleichen Rechengang zu lösen (war Maturabeispiel in einem Gymnasiom in Mödling):

In ein Rotationsparaboloid, welches durch Rotation der Parabel $\begin{eqnarray*} y^2 = 8x \end{eqnarray*}$ um die x-Achse entsteht, wird eine Kugel mit dem Radius r = 8 gelegt, sodass sie das Paraboloid von innen berührt. Wie groß ist der im Inneren des Paraboloides freibleibende Raum?

Hinweis:

Setze den Kreis mit $\begin{eqnarray*} (x - m)^2 + y^2 = 64 \end{eqnarray*}$ an und schneide ihn mit der Parabel.

Nach dem Nullsetzen der Diskrimante muss sich m = 10 ergeben, als x-Wert des Berührungspunktes 6 ...

Bitte poste dann hier deine Lösungen, damit auch andere etwas davon haben.

mY+

14.10.2006, 23:25

OGJ

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phuu, ok probiers mal, allerdings war meines ein bisschen anders. Man hat die entstehende Fläche zwischen Hyp. und Parabel um die x- achse rotieren müssen, weiß aber nicht mehr genau.

was ich zum 1. Bsp. noch fragen wollte (blage mich noch beim eliminieren). Warum steht bei der Hyperbelgleichung nur $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ das würde doch heißen dass $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ = 1 ist. Oder wie kommst du drauf

mal schauen ob ich das heut noch schaffe

ansonsten danke erst mal

14.10.2006, 23:27

mYthos

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Sorry, das is ein Schreibfehler, muss natürlich

$\begin{eqnarray*} b^2x^2 \end{eqnarray*}$

lauten!

Die Rechnung stimmt aber.
Ich editier's dann gleich!

Und dann: Auch wenn die Fläche zwischen zwei Kurven zu rotieren ist, muss dazu von beiden Kurven die Differenz deren Rotationsintegrale berechnet werden.

$\begin{eqnarray*} V_x = \pi \cdot \int (f^2(x) - g^2(x))~dx \end{eqnarray*}$

mY+

15.10.2006, 00:29

OGJ

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gut für erstes bsp. bekomm ich $\begin{eqnarray*} b^2 = \frac{16}{3} \end{eqnarray*}$
?? statt [ $\begin{eqnarray*} b^2 = \frac{28}{5} \end{eqnarray*}$ ]

d.h. y = 4

15.10.2006, 02:17

mYthos

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Deine Lösung ist richtig, wie eine Probe sofort zeigt, also muss ich mich wo verrechnet haben ...., sorry.

Auch y = 4 stimmt.

Es zeigt, dass du es verstanden hast!

mY+

15.10.2006, 14:13

OGJ

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hi,

also 1. Beispiel:

hier bekomme ich die 2 Berührungspunkte (-4/4) und (4/4).

die beiden Gleichungen sehen jetzt so aus:

Hyp: $\begin{eqnarray*} 4 x^2 - 3 y^2 = 16 \end{eqnarray*}$

Kreis: $\begin{eqnarray*} x^2 + (y - 7)^2 = 25 \end{eqnarray*}$ --> M(0/7) oder??, r = 5

OK

würde man das jetzt zeichnen liegt Kreis auf der Hyperbel.

So jetzt will ich die Fläche die zwischen Hyp. und Kreis (schaut aus wie ein aufgespanntes leder) rotiert haben. Dazu muss ich die Kurven um die y-Achse rotieren lassen oder?

Also rechne ich einfach das Rotationsvolumen von der Hyperbel - dem von dem Kreis. Also V1 -V2 = V. Oder rechne ichs in einer wurst?

wie schaut die zu rotierende Gleichung vom Kreis aus?
$\begin{eqnarray*} y^2 = 25 - x^2 \end{eqnarray*}$ ?

Bei Bsp 2: bekomm ich immer:

m = 8, x=4 raus; aber die Probe gibt diesmal diesmal dir recht mit m = 10, x = 6

Kann ich die Gleichung auch anderst anschreiben $\begin{eqnarray*} (x - m)^2 + y^2 = 64 \end{eqnarray*}$ . bzw ist m = Xm

weiter würd ichs ja verstehen glaub ich

danke
OGJ

15.10.2006, 14:26

mYthos

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Die Gleichung der Hyperbel ist richtig, der Mittelpunkt des Kreises auch, M(0;7).

Bei der Rotation um die y-Achse werden an Stelle von y = y(x) die Umkehrfunktion x = x(y) und demgemäß auch die y-Grenzen verwendet, es gilt:

$\begin{eqnarray*} V_y = \pi \cdot \int~x^2~dy \end{eqnarray*}$

also für den Kreis

$\begin{eqnarray*} .. = \pi \cdot \int~[25 - (y - 7)^2]~dy \end{eqnarray*}$

Beisp. 2:

$\begin{eqnarray*} (x - m)^2 + y^2 = 64 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^2 = 8x \end{eqnarray*}$
--------------------------------

Nach Elimination von $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ kommt

$\begin{eqnarray*} (x - m)^2 - 64 + 8x = 0 \end{eqnarray*}$

ausquadrieren und nach x lösen ..., Diskrimante -> 0, Gleichung nach m lösen

mY+

15.10.2006, 15:33

OGJ

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gut

Hyp.:

$\begin{eqnarray*} V1 = 2 \pi \int_{0}^{4}~( 4 +\frac{3}{4}y^2)~dy = ....64 \pi \end{eqnarray*}$

Kreis:

$\begin{eqnarray*} V2 = \pi \int_{2}^{4}~(-y^2 + 14y -24)~dy = ...-\frac{52}{3} \pi \end{eqnarray*}$ oder sollte ich beim Kreis Substitution anwenden?

gut und jetzt V1 - V2:

$\begin{eqnarray*} 64\pi -(- \frac{52}{3} \pi )= \frac{244}{3} \pi \end{eqnarray*}$

da stimmt glaub ich was nicht??

Kann ich diese Fläche auch bekommen indem ich das ganze um die X -achse rotiere. Volumen/Form ist dann eine andere ist mir schon klar.

15.10.2006, 15:35

OGJ

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V2 gehört ja unbedingt abgezogen von V1 außerdem muss ichs 2 mal abziehen.Quasi unten und oben, oder?

15.10.2006, 16:17

mYthos

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Dem Zahlenwert nach stimmt das Volumen des Kugelabschnittes ( $\begin{eqnarray*} \frac{52\pi}{3} \end{eqnarray*}$ ), aber davor ist kein Minus!

Beim Hyperboloid (von 0 bis 4) ist nicht mit 2 zu multiplizieren, deswegen lautet es nur $\begin{eqnarray*} 32\pi \end{eqnarray*}$ .

Das Restvolumen ist demnach $\begin{eqnarray*} .. = 32\pi - \frac{52\pi}{3} = ... \end{eqnarray*}$

Beim Integral kannst du sowohl Substitution anwenden (die hier sehr einfach ist) oder auch ausmultiplizieren.

Das Volumen, wenn die Fläche um die x-Achse rotiert, ist im Allgemeinen garantiert ein anderes, somit so nicht ersetzbar.

mY+

17.10.2006, 12:31

OGJ

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Danke nochmal,

(Externisten-)Matura gestern Bestanden!!!

19.10.2006, 14:49

mYthos

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Da gratuliere ich aber dir herzlich dazu!

Beim 2. Beispiel habe ich noch einen kl. Fehler meinerseits korrigiert, aber das wird dir vermutlich bereits herzlich egal sein Big Laugh

Big Laugh

Aber es gehört halt zur Ordnung ...

mY+

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