Legendre Formel

25.01.2010, 12:32	mullrich	Auf diesen Beitrag antworten »
Legendre Formel Hallo, ich komme nicht auf die Lösung der folgenden Aufgabe: Ist $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ eine Primzahl, so ist $\begin{eqnarray} w_{p}(n!) \neq p\ \forall\ n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Außerdem soll es noch weitere natürliche Zahlen geben, die nicht als Werte in Frage kommen können. $\begin{eqnarray} w_{p}(n!):=\lfloor\frac{n}{p}\rfloor+\lfloor\frac{n}{p^2}\rfloor +\lfloor\frac{n}{p^3}\rfloor+...+0... \end{eqnarray}$ Die Aufgabe müsste schnell zu lösen sein, komme aber auf keinen gescheiten Ansatz. Wäre dankbar für Tips!
25.01.2010, 13:09	wover	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Legendre Formel dementsprechend müsste doch auch gelten: $\begin{eqnarray} <br /> w_{p}(n!):=\frac{1}{p}\left(\cdot\lfloor n\rfloor+\lfloor\frac{n}{p}\rfloor%20+\lfloor\frac{n}{p^2}\rfloor+...+0...\right)<br /> \end{eqnarray}$ und damit schon keine primzahl mehr
25.01.2010, 14:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@wover Man kann nicht einfach so Faktoren aus der Gaußklammer $\begin{eqnarray} \left\lfloor \ldots \right\rfloor \end{eqnarray}$ rausziehen - i.d.R. ist das falsch, so auch hier. @mullrich Erstmal klarstellen: $\begin{eqnarray} w_p(m) \end{eqnarray}$ gibt den Exponenten des Primfaktor $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ in der Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ an - sowas solltest du erwähnen. Ohne weiteres sollte klar sein, dass bei fest gewähltem $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ die Funktion $\begin{eqnarray} n\to w_p(n!) \end{eqnarray}$ monoton wachsend ist, es kommen ja bei $\begin{eqnarray} n! \end{eqnarray}$ stets immer nur neue Faktoren hinzu, und keine fallen weg. Somit reicht es, einen Wert $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} w_p((k-1)!) < p < w_p(k!) \end{eqnarray}$ anzugeben.
28.01.2010, 13:45	mullrich	Auf diesen Beitrag antworten »
bin jetzt erst dazu gekommen mir das ganze anzugucken. also $\begin{eqnarray} w_p(n!) \end{eqnarray}$ ist monoton steigend. Es gilt: $\begin{eqnarray} w_p((p^2-1)!)=p-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w_p(p^2!)=p+1 \end{eqnarray}$ Zusammen: $\begin{eqnarray} w_p((p^2-1)!)<p<w_p(p^2!)=p+1 \end{eqnarray}$ Durch die Monotonie ist es bewiesen, richtig?
29.01.2010, 10:20	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
korrekt!

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