Kern und Bild

26.01.2010, 14:03

LadyEnyce

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Kern und Bild

Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Es seien $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^n -> \mathbb R ^m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R ^m -> \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ lineare Abbildungen mit $\begin{eqnarray*} g o f = id_{\mathbb R ^n} \end{eqnarray*}$

Ich soll nun beweisen, dass
a) $\begin{eqnarray*} Im(f) \cap Ker(g) = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} Im(f) + Ker(g) = \mathbb R ^m \end{eqnarray*}$

zu a hab ich mir mal folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} Im(f)= f(x) , x \in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Ker(g)=\left\{ y \in \mathbb R ^m ; g(y)=0\right\} \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} g^{-1}(\left\{ 0\right\} )=y \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} g o f = id_{\mathbb R ^n} \end{eqnarray*}$ folgt also $\begin{eqnarray*} Ker(g)=f(\left\{ 0\right\} ) \end{eqnarray*}$

also ist: $\begin{eqnarray*} f(y) \cap f(\left\{ 0\right\} )=\left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$

ist das so richtig? und kann mir jmd bei der b helfen?

26.01.2010, 14:06

LadyEnyce

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RE: Kern und Bild

Zitat:

Original von LadyEnyce

also ist: $\begin{eqnarray*} f(y) \cap f(\left\{ 0\right\} )=\left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$

blödsinn, das muss natürlich $\begin{eqnarray*} f(x) \cap f(\left\{ 0\right\} )=\left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$

26.01.2010, 14:22

Mazze

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} Ker(g)=\left\{ y \in \mathbb R ^m ; g(y)=0\right\} \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} g^{-1}(\left\{ 0\right\} )=y \end{eqnarray*}$

Das stimmt so nicht ganz. Wenn überhaupt ist $\begin{eqnarray*} g^{-1}(\left\{ 0\right\} ) =\left\{ y \in \mathbb R ^m ; g(y)=0\right\} \end{eqnarray*}$ . Es kann ja sein, das die Null mehrere Urbilder unter g hat. Die Folgerung

Zitat:

mit $\begin{eqnarray*} g o f = id_{\mathbb R ^n} \end{eqnarray*}$ folgt also $\begin{eqnarray*} Ker(g)=f(\left\{ 0\right\} ) \end{eqnarray*}$

ist nicht richtig. Vor allem wenn m > n ist. Besser :

Sei $\begin{eqnarray*} g \circ f (x) = 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist wegen $\begin{eqnarray*} g \circ f = id_{\mathbb R ^n} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ . Nehmen wir nun an $\begin{eqnarray*} Im(f) \cap Ker(g) \neq \{0\} \end{eqnarray*}$ , dann gibt es einen Vektor ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was die zweite angeht : Du weisst aus a) bereits das der Schnitt die Menge mit der Null ist. Daher haben wir eine direkte Summe. Sei nun $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ , dann musst Du $\begin{eqnarray*} u \in Im(f), v \in Ker(g) \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} x = u + v \end{eqnarray*}$ .

26.01.2010, 14:40

LadyEnyce

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dann gibt es einen Vektor v mit f(v)=0 und $\begin{eqnarray*} g^{-1}(v)=0 \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} g(\left\{ 0\right\} )=v \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} Im(f)=g(\left\{ 0\right\} ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Ker(g)= f(\left\{ 0\right\} ) \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} g(\left\{ 0\right\} )\cap f(\left\{ 0\right\} ) = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ ????

26.01.2010, 14:47

Mazze

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Du sollst einen Widerspruch erzeugen. Nun, nehmen wir an

$\begin{eqnarray*} Im(f) \cap Ker(g) \neq \{0\} \end{eqnarray*}$ , dann gibt es einen Vektor $\begin{eqnarray*} v \in Im(f) \cap Ker(g) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} (g \circ f)(v) = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist aber ein Widerspruch wozu ?

26.01.2010, 16:24

LadyEnyce

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hat das damit was zu tun:

$\begin{eqnarray*} (g o f)(v)=g(f(v)) \end{eqnarray*}$ ???

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26.01.2010, 16:27

Mazze

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Wir haben direkt zu Beginn gezeigt :

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} (g \circ f) (x) = 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist wegen $\begin{eqnarray*} g \circ f = id_{\mathbb R ^n} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

Nun, haben wir angenommen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} v \in Im(f) \cap Ker(g) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist

$\begin{eqnarray*} (g \circ f)(v) = 0 \end{eqnarray*}$

Siehst Du den Widerspruch?

26.01.2010, 16:33

LadyEnyce

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ja weil wir gesagt haben wegen der identität muss x=0 sein, hier ist aber x bzw v nicht null, also ein widerspruch

26.01.2010, 16:35

Mazze

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Ganz genau. Daher ist die Annahme $\begin{eqnarray*} v \neq 0 \end{eqnarray*}$ falsch, daher ist $\begin{eqnarray*} Im(f) \cap Ker(g) = \{0\} \end{eqnarray*}$ .

26.01.2010, 16:39

LadyEnyce

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ok cool, ich versuch das jetzt mal noch einigermaßen geordnet aufzuschreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

danke schonmal, bei der b häng ich allerdings noch, da bekomm ich nichtmal einen ansatz hin und versteh deinen ehrlich gesagt auch nicht so ganz^^

26.01.2010, 16:44

Mazze

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Was verstehst Du daran nicht? Sei $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ , dann sollst Du zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} v \in Im(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \in Ker(g) \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} x = v + w \end{eqnarray*}$ .

26.01.2010, 17:08

LadyEnyce

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doch ich weiss was du meinst... ich bin grad nur am tüfteln wie ich das zeigen kann dass so ein x existiert

26.01.2010, 17:10

Mazze

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Du sollst nicht zeigen das so ein x existiert, du sollst zeigen das jedes x diese Zerlegung hat.

26.01.2010, 17:16

LadyEnyce

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eine kurze und vielleicht blöde frage hierzu, die mich schon öfters beschädtigt hat, ist der kern plus das bild einer abbildung der raum in dem sich die abbildung befindet also konkret wäre hier $\begin{eqnarray*} bild(f)+ker(f)=\mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^m \end{eqnarray*}$ ???

26.01.2010, 17:18

Mazze

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Diesen Satz kannst Du hier nicht anwenden, da Du keine Endomorphismen hast.

26.01.2010, 17:22

LadyEnyce

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mist^^ also ok andere überlegung wenn v im Bild von f liegen soll muss für v gelten: f(x)=v, mit x aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ und für w aus dem Kern von g muss gelten g(w)=0 ist das schonmal soweit richtig gedacht?

26.01.2010, 17:24

Mazze

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Im Prinzip suchst Du für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ einen Vektor $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ so dass

$\begin{eqnarray*} x = f(v) + w \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} w \in Ker(g) \end{eqnarray*}$ gilt.

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