Eigenwerte schiefsymmetrische Matrix

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26.01.2010, 21:33	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte schiefsymmetrische Matrix Hallo, ich bin es mal wieder, sitze gerade an einer Aufgabe, aber weiß nicht so recht, wie bzw. was ich zeigen soll. Unter welchen Bedingungen an die reellen Zahlen $\begin{eqnarray} \lambda_{1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \lambda_{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \lambda_{3} \end{eqnarray}$ existiert eine schiefsymmetrische reelle $\begin{eqnarray} (3 x 3)-Matrix \end{eqnarray}$ , die genau die Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_{1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \lambda_{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \lambda_{3} \end{eqnarray}$ besitzt. Also ich habe in meinem Buch folgenden Satz dazu gefunden: Ist die Raumdimension ungerade, so haben reelle schiefsymmetrische Matrizen immer Null als Eigenwert. Das heißt doch auf meinen Fall übertragen, dass $\begin{eqnarray} \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0 \end{eqnarray}$ sein müssen. Schiefsymmetrie bedeutet doch, dass, wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine reelle Matrix ist: $\begin{eqnarray} -A=A^T \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich irgendwie noch darauf kommen, dass alle Eigenwerte NUll sind: Ich hab schon einen Ansatz, komme aber irgendwie nicht weiter: $\begin{eqnarray} Ax=\lambda x \Rightarrow A\bar x= \bar \lambda \bar x \Rightarrow \bar x^T A^T = \bar x^T \lambda \Rightarrow x^T (-A) = \bar x^T \lambda \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt die linke Gleichung von links mit $\begin{eqnarray} \bar x ^T \end{eqnarray}$ und die rechte Gleichung von rechts mit $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ multipliziere ergibt sich: $\begin{eqnarray} \bar X^T Ax=\lambda \bar x^T x \Rightarrow \bar x^T (-A)x = \lambda \bar x^T x \end{eqnarray}$ Aber wie kann ich jetzt weiter machen? Dieses $\begin{eqnarray} (-A) \end{eqnarray}$ stört irgendwie Oder muss ich vielleicht anders rangehen.? Grüße Bullet
26.01.2010, 22:22	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, ich glaube, ich habs jetzt: Allgemein ist eine schiefsymmetrische Matrix über zwei Punkte definiert: i) a_{ik}=-a{ki} ii) Die Elemente auf der Hauptdiagonalen sind gleich null. demzufolge sieht die allgemeine schiefsymmetrische Matrix so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ -a & 0 & c \\ b & -c & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Als charakteristisches Polynom ergibt sich nach Zusammenfassen folgendes: $\begin{eqnarray} P(\lambda)= (-\lambda) \cdot [(\lambda)^2+a^2+b^2+c^2)=0] \end{eqnarray}$ Daraus folgt jetzt: $\begin{eqnarray} \lambda_{1}=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} {\lambda_{2/3}}^2=-(a^2+b^2+c^2) \end{eqnarray}$ Also haben wir, dass $\begin{eqnarray} \lambda_{2/3} \in \mathbb C \end{eqnarray}$ , es sei denn $\begin{eqnarray} a=b=c=0 \end{eqnarray}$ Aber wie lautet jetzt die richtige Antwort auf die Frage?
26.01.2010, 22:33	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Du machst dir insgesamt zu viel Mühe. Benutze die Eigenschaft $\begin{eqnarray} \det(A)=\det(A^{tr}) \end{eqnarray}$ und nutze dann, dass A scheifsymmetrisch ist und dass die Vektorraumdimension ungerade ist. Dann solltest du schnell zum Ziel kommen.
26.01.2010, 22:38	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... ok, also: $\begin{eqnarray} det(A) = det (A^T)=det(-A) \end{eqnarray}$ Aber was sagt mir das jetzt über das charakteristische Polynom? Wie baue ich jetzt die ungerade Vektorraumdimension ein?
26.01.2010, 22:40	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist auf dem richtigen Weg. Denke daran, dass die Determinante multilinear ist - was passiert also, wenn du den Faktor $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \det(-A) \end{eqnarray}$ herausziehst?
26.01.2010, 22:46	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... Ich weiß nicht ganz was du meinst. Meinst du, dass wenn ich eine beliebige Zeile vertausche, dass sich dann das Vorzeichen der Determinante ändert?
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26.01.2010, 22:47	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Ich meine die Determinante ist linear in jeder Komponente (Spalte). Also gilt z.B. für $\begin{eqnarray} v_i \in \mathcal V,~ a\in K \end{eqnarray}$ , wo $\begin{eqnarray} \mathcal V \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum ist, $\begin{eqnarray} \det(av_1,v_2,v_3)=a\det(v_1,v_2,v_3) \end{eqnarray}$ .
26.01.2010, 22:51	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, das heißt also, wenn ich aus $\begin{eqnarray} (det(-A)) \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} (-1)(det(A) \end{eqnarray*}$ mache, so muss ich in einer belibigen Zeile einfach das Vorzeichen tauschen, oder? Ach nee, falsch
26.01.2010, 22:55	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe nicht, wie du darauf kommst. Du musst doch wissen, was eine lineare Abbildung ist. Die Determinante ist eben linear in jeder Spalte. Mal ein ganz konkretes Beispiel: $\begin{eqnarray} \det \begin{pmatrix}3&4\\6&2\end{pmatrix} = 3\det\begin{pmatrix}1&4 \\ 2&2 \end{pmatrix} = 3\cdot 2 \cdot \det \begin{pmatrix}1&2 \\ 2&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
26.01.2010, 23:03	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, gut, ja, kenne ich: In meinem Fall wäre doch dann: $\begin{eqnarray} det(-A)=\begin{vmatrix} 0 & -a & b \\ a & 0 & -c \\ -b & c & 0 \end{vmatrix} =0 \end{eqnarray}$ Ich versteh aber jetzt irgendwie nicht, wie ich die (-1) aus dem $\begin{eqnarray} det(-A) \end{eqnarray}$ rausbekomme. Ach doch, ich glaube ich habe es. Kann es in diesem Fall sein, dass $\begin{eqnarray} det(-A)=-det(A) \end{eqnarray}$ Also steht insgesamt die Gleichungskette da: $\begin{eqnarray} detA=detA^T=det(-A)=-det(A) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} det(A)=0 \end{eqnarray}$
26.01.2010, 23:13	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergiss diese Matrix mit den a,b,c, - die hilft dir nicht weiter. Du musst aus $\begin{eqnarray} \det(-A) \end{eqnarray}$ die -1 herausziehen, also ziehe sie einfach aus jeder Spalte heraus, so wie ich es in dem Zahlenbeispiel mit 3 und 2 vorgemacht habe. Wie viele Spalten hat die Matrix (denke hier an die Dimension des Vektorraums)? Also wie oft kannst du die -1 aus der Determinante herausziehen? Frage dich doch mal, was die Eigenschaft der Dimension, ungerade zu sein, überhaupt mit dem zu zeigenden zu tun hat.
26.01.2010, 23:15	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab jetzt meine vorletzten Beitrag editiert. Ich weiß jetzt, was du meintest. Hab jetzt raus $\begin{eqnarray} det(A)=0 \end{eqnarray}$ Na ja, daraus folgt ja nun, dass der Eigenwert auch null sein muss. Heißt das nun, dass alle drei Eigenwerte null sind?
27.01.2010, 07:47	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es richtig. Aber aus dieser Aussage kannst du im Allgemeinen erstmal nur folgern, dass mindestens einer der Eigenwerte Null ist, nicht unbedingt alle. Aber im Spezialfall der 3x3-Matrix mit den drei Eigenwerten Lambda erhält man die Aussage $\begin{eqnarray} \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3 \end{eqnarray}$ in der Tat.
27.01.2010, 10:08	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, cool, Danke für die Geduld. Da hätte ich mich glaube sonst in unendlich lange Rechnungen verrannt.

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