Problem mit mxn Matrizen [Erstsemesterfrage]

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entek Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit mxn Matrizen [Erstsemesterfrage]
Hallo miteinander,

ich bin einer der nervigen Erstsemester die die ganze Methematik nicht checken und hab demnach eine wahrscheinlich triviale Frage.

Folgendes: Ich möchte den Rang einer Matrix herausfinden. Dazu bringe ich sie in die Zeilenstufenform und zähle die Zeilen die nicht komplett null sind.

Bei nxn-Matrizen kein Problem. Aber was wenn eine Matrix so aussieht:
(1 2)
(2 3) = A
(2 1)

Ich weiß, dass die Matrix nur einen Rang haben kann der Maximal 2 ist, da Rang(A)<=min(m,n).
Ich denke der Rang ist 2 weil ich 2 lin. unabhängige Vektoren hab.
Aber wie bekomme ich das rechnerisch raus? Kann ich darauf den Gauß anwenden, bzw. die Matrix in eine Zeilenstufenform bringen?

Wie sieht es z. B. mit folgender Matrix aus:
(1 1)
(2 2) = B
(3 3)
Die, so vermute ich, wird den Rang 1 haben, da beide Vektoren lin. abhängig sind.

Meine Frage ist also, ob die (sehr einfache) Zeilenstufenform, das richtige mittel ist um den Rang zu bestimmen, und wenn ja, wie sieht die Zeilenstufenform bei solch nxm.Matrizen aus.

Ich wäre dankbar wenn mir jemand weiter helfen kann.

Grüße entek
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit mxn Matrizen [Erstsemesterfrage]
Zitat:
Original von entek
Ich denke der Rang ist 2 weil ich 2 lin. unabhängige Vektoren hab.

Richtig.

Zitat:
Original von entek
Aber wie bekomme ich das rechnerisch raus? Kann ich darauf den Gauß anwenden, bzw. die Matrix in eine Zeilenstufenform bringen?

Ja.

Zitat:
Original von entek
Die, so vermute ich, wird den Rang 1 haben, da beide Vektoren lin. abhängig sind.

Richtig.
 
 
entek Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, danke für die Antwort.
Aber jetzt gehts ja weiter.

Du sagst ich kann die Matrix auf die Zeilenstufenform bringen. Das würde ich jetzt folgendermaßen machen:

(1 1)
(2 2) { 3*I - III }
(3 3)

(1 1)
(2 2)
(0 0)

Jetzt denke ich mir folgendes:
Zitat:
Prima,ich habe unten links die 0, also fertig mit der Zeilenstufenform. Ich habe genau eine Nullzeile, also einen Rang von zwei (drei Zeilen minus die eine Nullzeile).

Das ist offensichtlich falsch.

Wo ist mein Denkefehler?
Ist das da oben wirklich die fertige Zeilenstufenform für diese Matrix?
Berechnet man den Rang einer mxn-Matrix wirklich so?


Grüße entek
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von entek
Ist das da oben wirklich die fertige Zeilenstufenform für diese Matrix?

Nein. Eine Matrix ist genau dann in Zeilenstufenform, wenn jeweils unterhalb dem ersten Nicht-Null-Element einer Zeile nur Nullen stehen.

Zitat:
Original von entek
Berechnet man den Rang einer mxn-Matrix wirklich so?

Ja.
entek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Eine Matrix ist genau dann in Zeilenstufenform, wenn jeweils unterhalb dem ersten Nicht-Null-Element einer Zeile nur Nullen stehen.


Es tut mir sehr leid, aber das verstehe ich nicht. Unterhalb dem ersten nicht-null-Element (jeweils die zwei) sind jeweils nur Nullen (also nur eine Null). Oder etwa nicht?




Apropos, wie sieht es denn mit einer solchen Matrix aus. Ist die in der Zeilenstufenform?



Es wäre nett wenn mir noch jemand auf die Sprünge helfen kann.

Gruß entek
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von entek
Unterhalb dem ersten nicht-null-Element (jeweils die zwei) sind jeweils nur Nullen (also nur eine Null). Oder etwa nicht?

Nein. In der ersten Zeile ist das erste Nicht-Null-Element die 1 in der ersten Spalte. Und was sieht man unter der 1? Eine schnucklige 2. Augenzwinkern

Die 2. Matrix ist in Zeilenstufenform.
entek Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhh, jetzt hat es Klick gemacht.

Dann sind folgende Matrizen auch in Zeilenstufenform






Das bedeutet ja dann auch, das eine Matrix die mehr Zeilen als Spalten besitzt, nur in Zeilenstufenform gebracht werden kann, wenn sie entsprechend linear abhängige Vektoren besitzt (also entsprechend viele null-Zeilen sind).
Auf das Beispiel oben bezogen wäre folgendes die Zeilenstufenform (die das Kriterium ja auch erfüllt).



Ist das soweit korrekt?
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