Nullstelle des Polynoms irrational und ganz

15.10.2006, 15:04

bunny5

Nullstelle des Polynoms irrational und ganz

Hi Leute!

Sitz schon ein Weilchen über ner Aufgabe und hab leider nur den einen Teil geschafft....

Zur Aufgabe:

Man hat das Polynom $\begin{eqnarray*} f=x^n+k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k, n \in \mathbb Z, n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Zeigen sie: Ist $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine reele Nullstelle von f, so ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ganz oder irrational.

Also den Beweis, dass es irrational sein muss, hab ich fertig gebracht:

$\begin{eqnarray*} \alpha ^n + k =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{-k}=\frac{a}{b} , -k=\frac{a^n}{b^n} \end{eqnarray*}$ , wobei a und b teilerfremd sein sollen... Wenn man das dann alles auflöst und so weiter kommt dann raus, dass a und b einen gemeinsamen Teiler haben, ist also ein Widerspruchsbeweis...

Aber wie beweise ich, dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ganz ist?

Danke im Vorraus!

bunny5

15.10.2006, 15:30

JochenX

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also irgendwie zeigst du glaube ich das falsche, nämlich etwas, das NICHT sein kann

alpha kann doch nicht GLEICHZEITIG irrational UND ganz sein, gezeigt werden soll doch, dass es EINES VON BEIDEM ist

Deinen Beweis kann ich so nicht nachvollziehen... du müsstest ja auch zeigen, wenn du alpha=a/b ansetzt, dass das nicht geht ODER aber b=1 ist

15.10.2006, 19:42

system-agent

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RE: Nullstelle des Polynoms irrational und ganz

Zitat:

Original von bunny5
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{-k}=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

diese wurzel ist aber so nicht immer in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert...

15.10.2006, 20:11

Mathespezialschüler

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Du musst, wie Jochen schon sagte, zeigen, dass keine Nullstelle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb Q\setminus \mathbb Z \end{eqnarray*}$ existiert. Nimm an, es gäbe eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} x=\frac{a}{b},\quad a,b\in\mathbb Z, b\neq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(a,b)=1 \end{eqnarray*}$ . Das kannst du einsetzen, mit $\begin{eqnarray*} b^n \end{eqnarray*}$ multiplizieren und dann solltest du $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ rausbekommen.

Gruß MSS

16.10.2006, 14:25

bunny5

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Zitat:

Original von LOED
... ODER aber b=1 ist

Da lag der Fehler von mir^^

Danke, ich hab nicht dran gedacht, dass b=1 sein kann smile

16.10.2006, 17:50

Mathespezialschüler

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Hast du denn jetzt einen Beweis gefunden?

Gruß MSS

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