Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion?

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27.01.2010, 15:20	Terra1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? Hallo Forum, ich habe versucht mit den Winkelfunktionen mir die noch fehlenden Winkel(x & y) zu ermitteln. Aber irgendwie finde ich keinen richtigen Ansatzpunkt für eine Formel. In einem CAD Programm kann ich mir die Werte ganzleicht herleiten, allerdings reicht mir das nicht aus. Ich möchte gerne wissen, wie man diesen Winkel auf mathematischem Wege ermittelt. Ich hoffe mir kann jemand mal die herangehensweise erklären. Vielen Dank schon mal im voraus. Thomas
27.01.2010, 16:34	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? kommt mir völlig falsch vor, betragen die winkel ca. 79°
27.01.2010, 16:43	Terra1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? Hallo Werner, der Winkel x beträgt 87,53° und der Winkel y beträgt 91,45° Gruß Thomas
27.01.2010, 16:47	Terra1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? Hallo Werner, noch zur Info, die Fläche F1 steht senkrecht im Raum und die Fläche F2 ist 2° nach hinten geneigt (also 88° wenn man von der horizontalen Ebene ausgeht auf der der Winkel 126° abgebildet ist).
27.01.2010, 17:28	Terra1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? Ich habe mal die Koordinaten der Eckpunkte herausgezogen. Vielleicht hilft das ja jemand weiter. P1 ( 0 ; 0 ; 0) P2 ( 1500 ; 0 ; 0) P3 (-1175,57 ; 1618,03 ; 0) P4 ( 1500 ; 0 ; 3000) P5 ( 129,49 ; 0 ; 3000) P6 (-1090,82 ; 1679,61 ; 3000)
27.01.2010, 17:58	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? aha, da habe ich etwas anderes gesehen. mit dieser "variante" bin ich nun bei $\begin{eqnarray} x = 87.528° \end{eqnarray}$ aber das muß ich mir selber noch ordentlich anschauen $\begin{eqnarray} y=88.548\to y=91.452° \end{eqnarray}$ ich denke jetzt kapiere ich, was ich (vektoriell) gerechnet habe, also bei bedarf nachfragen
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27.01.2010, 21:20	Terra1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? Hallo Werner, ich find es supi, das du dich meiner Sache angenommen hast. Und wie es so ausschaut hast du ja schon den y Wert herausbekommen.Wenn du den Rest auch herausbekommen hast, verratest du mir dann die Herleitung? Gruß Thomas
27.01.2010, 21:47	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? gerne, nach der (wein) orgie
27.01.2010, 23:52	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? nachdem das gelage sehr erfolgreich abgeschlossen ist, feind alk wurde ausgiebig vernichtet mit den bezeichnern der skizze und den deinen, alle längenangaben sind wurscht! $\begin{eqnarray} F_1 : \vec{n}_1=\begin{pmatrix} 0\\cos88 \\ sin88\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} 1\\0 \\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\sin88 \\-cos88 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_2: \vec{n}_2=\begin{pmatrix} -cos54\\ cos36\\ 0\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} 0\\0 \\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} cos36 \\ cos54\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ damit berechnet man den richtungsvektor der schnittgeraden zu: $\begin{eqnarray} \vec{s}=\vec{n}_2\times\vec{n}_1=\begin{pmatrix} -cos88\cdot cos54\\cos88\cdot cos36 \\ sin88\cdot cos36\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ womit nun für die winkel folgt: $\begin{eqnarray} cosy=\frac{\vec{s}\cdot\begin{pmatrix}1 \\ 0\\0 \end{pmatrix} }{\|\vec{s}\|}=-0.809277\to y=91.452 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cosx=\frac{\vec{s}\cdot\begin{pmatrix} -cos54 \\ cos36\\ 0\end{pmatrix} }{\|\vec{s}\|}\to x=87.528 \end{eqnarray}$ (man beachte die orientierung der vektoren, damit das vorzeichen bei den cosinus stimmt)
28.01.2010, 09:08	Terra1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? Guten Morgen Werner, man du bist ja ein ganz Eifriger. Vielen Dank für die Lösung. Dennoch muß ich noch eine Frage los werden. Bei mir ist es schon eine Weile her, das ich in der Schule mit Vektorrechnung zu tun hatte. Diese Matrix Schreibweise hatte ich auch mal gehabt, aber so richtig kann ich die Formeln nicht mehr interpretieren. Gibt es noch eine andere Möglichkeit diese Winkel zu berechnen? Oder kann man diese Formel noch anders schreiben? Gruß Thomas
28.01.2010, 10:30	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? auch guten morgen. da du alle koordinaten hast, geht es natürlich einfacher, das ist ein fall für´s skalarprodukt. ich melde mich dazu am nachmittag
28.01.2010, 12:46	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? $\begin{eqnarray} cos \alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{u}\cdot\vec{v}=u_x\cdot v_x+u_y\cdot v_y+u_z\cdot v_z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\vec{u}\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2} \end{eqnarray}$ daher mit $\begin{eqnarray} P_1(0/0/0) \end{eqnarray}$ hast du für cos y $\begin{eqnarray} \vec{u}=\overrightarrow{P_1P_5}=(p_{5x},p_{5y},p_{5z})^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{v}=\overrightarrow{P_1P_3}=(p_{3x},p_{3y},p_{3z})^T \end{eqnarray}$ für cos x entsprechend $\begin{eqnarray} \vec{u}=\overrightarrow{P_1P_5}=(p_{5x},p_{5y},p_{5z})^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{v}=\overrightarrow{P_1P_2}=(p_{2x},p_{2y},p_{2z})^T \end{eqnarray}$ (eine kopie aus excel, geht momentan leider nicht besser ) x y z \|P1Pi\| P1 0,00 0,00 0,00 P2 1500,00 0,00 0,00 1500,00 P3 -1175,57 1618,03 0,00 2000,00 P5 129,49 0,00 3000,00 3002,79 y -0,03 0,03 88,55 91,45 x 0,04 0,04 87,53 87,53
28.01.2010, 13:39	Terra1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? Hallo Werner, diesen Rechenweg konnte ich nachvollziehen. Verrate mir doch bitte wie du die ersten 2 Formeln hergeleitet hast? $\begin{eqnarray} cos \alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{u}\cdot\vec{v}=u_x\cdot v_x+u_y\cdot v_y+u_z\cdot v_z \end{eqnarray}$ Wie bist du an diese Sache herangegangen? Gruß Thomas
28.01.2010, 14:35	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? das ist die DEFINITION des skalarproduktes schau z.b. hier ok sonst frage gerne weiter
28.01.2010, 15:29	Terra1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? Sorry, wenn ich für dich "diese komische Frage" gestellt habe. Ich habe diese Herleitungen schon laaaaaaaaaaange nicht mehr gebraucht. Ich wollte nur wissen wie man sie herleitet. Und siehe da der Link hat mir meine Fragen beantwortet. Kennst du vielleicht auch noch einen Link, wo die Matrizenrechnung erklärt wird? Ich möchte gerne auch den ersten Lösungsweg verstehen. Eine Frage habe ich noch. Angenommen wir hätten jetzt die Koordinaten der Eckpunkte nicht gehabt, sondern nur die Werte, die ich am Anfang ins Netz gestellt habe, wäre es dann nur über den ersten Lösungsweg von dir gegangen? Gruß Thomas
28.01.2010, 15:50	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? es gibt bekanntlich keine komischen, dummen oder so fragen, etwas anderes ist das bei antworten mein 1. weg ohne die koordinaten der punkte hat nicht direkt mit matrizen zu tun, außer man definiert vektoren als 1- spaltige oder 1 - zeilige matrizen. ein guter link zu diesem thema ist glaube ich der hier oben braucht man das vektorprodukt. ich skizziere den weg: 1) bestimme die normalenvektoren der beiden ebenen F1 und F2. diese bekommt man aus dem kreuz/vektorprodukt von 2 vektoren, die die ebene aufspannen, da der "kreuzvektor" auf diese beiden senkrecht steht. 2) über das kreuzprodunkt der beiden normalenvektoren erhalte ich nun den richtungsvektor der schnittgeraden, da diese gerade in beiden ebenen liegen muß und daher ihr richtungsvektor seinerseits auf beide normalenvektoren senkrecht steht. das ist nun der vektor $\begin{eqnarray} \vec{s} \end{eqnarray}$ . 3) mit hife des skalarproduktes berechne ich jetzt wieder die gesuchten winkel anmerkung: $\begin{eqnarray} \vec{s}=t\cdot\overrightarrow{P_1P_5} \end{eqnarray}$ annaloges gilt für die beiden anderen vektoren ich muß anfügen, ich bin da autodidakt, als mag die nutzung der termini leicht persönlich gefärbt sein ob es einen anderen weg gibt: es sollte schon einen "trigonometrischen" geben, wie ich ihn ursprünglich bei meinem 1. "versuch" - der von einer anderen situation ausging - eingeschlagen habe. da müßte ich aber erst suchen, denn der weg über das skalarprodukt ist sicher der einfachste.
28.01.2010, 21:30	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? so jetzt habe ich die "matrizenformeln" noch überarbeitet: $\begin{eqnarray} cosy=-\frac{cos54\cdot cos 88}{w}\to y=180-arccos(\frac{cos54\cdot cos 88}{w}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cosx=\frac{cos88}{w} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} w=\sqrt{(cos88)^2+(sin88\cdot cos 36)^2} \end{eqnarray}$ trigonometrisch hätte ich zu bieten: $\begin{eqnarray} y=90+arctan(tan(90-88)\cdot tan(126-90))\cdot sin88 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=90-arctan(\frac{tan(90-88)}{cos(126-90)}) \end{eqnarray}$ die ergebnisse stimmen zwar auf mindestens 6 nachkommastellen überein, aber wie immer ohne gewähr ich weiß, was mir besser gefällt
29.01.2010, 07:23	Terra1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? Guten Morgen Werner, nochmals ein riesiges Dankeschön, das du dich meiner Sache angenommen hast. Was mich an der ganzen Sache eigentlich brennend interessiert, ist wie man diese Formeln herleitet. Die Zahlen finde ich alle in meinem Beispiel wieder. Welche mathematischen Gesetzmäßigkeiten kommen in meinem Modell an welcher Stelle zur Anwendung. Ich möchte in Zukunft auch in der Lage sein solche Formeln herleiten zu können. Wenn das für dich jetzt den Rahmen sprengen würde, dann ist das für mich auch okay. Gruß Thomas
29.01.2010, 10:02	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? guten morgen, welche formeln meinst du denn jetzt ich werde mich bemühen
29.01.2010, 10:09	Terra1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? Hi, wie wäre es mit der trigonometrischen Formel. Danke!!! Gruß Thomas
29.01.2010, 10:19	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? ich fahre jetzt in mein wochenendhaus und melde mich dann am nachmittag von dort
29.01.2010, 10:25	Terra1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? immer mit der Ruhe, Ich werd jetzt auch demnächst den Rechner ausschalten. Voraussichtlich werde ich erst Samstag abend den Rechner wieder einschalten. Wenn es am WE nicht klappt, dann können wir auch am Montag weitermachen. Gruß Thomas
29.01.2010, 18:55	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie ermittelt man den Winkel x und y in meiner Konstruktion? als anregung, damit kann man das errechnen, was ich oben hingemalt habe. allerdings ist mein raumverständnis sehr mies

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